脇克志 : 見える！　群論入門

概要

ここでは著者の名字を便宜上「脇」と表記しているが、漢字の右側を構成する「力」が本書では「刀」になっている。

見える！群論入門 サポートページ(www.waki-lab.net) がある。本書の正誤表や、図の理解のための動画がある。

感想

私は頭が弱いので、なかなか理解できない。

「第１章　群の定義：群のイメージをつかむ」は、なんとか理解できそうだ。ただ、定義をしっかり理解しないとあとで痛い目に合う。 p.005 の定義を見よう。

2 つの「空間の動き」`a, b` に対して `a` の動きに続いて `b` の動きを行う連続した動きも「空間の動き」となり， これを `a ** b` で表し 2 つの動きの積と呼びます．

本によっては、`a` の動きに続いて `b` の動きを行う連続した動きを `b ** a` で表すこともあるから、注意しないといけない。

次の表現も注意しないといけない。

空間内の点 `p` が「空間内の動き」`a` で動いた先の点を `p^a` で表すことにします．

動きを上付きの添字で表す方法にも慣れないといけない。次のページからは、

1 つの動き `a` の積について，

`a ** a = a^2, quad a ** a ** a = a^3`

とべき乗で表します．

とある。このべき乗と、動きを表す上付きの添字を混同しないようにしたい。

「第２章　部分群：群のイメージをつかむ」では、もうついていけない。だいたい、p.016 にある、次の文がわからなかったのだ。

第 1 章では，「空間の動き」として回転の動き `c` と上下線対称の動き `sigma` を紹介しました．またこの 2 つの動きの間には，等式

`sigma ** c ** sigma = c^(-1)`

が成り立つことを証明しました．

あれ、この式が証明されていたのかと思ってあわてて pp.008-009 を見た。確かに、いま引用した式は p.008 の (1.5) 式である。よし、わかった気になろう。

「第 3 章 置換:動きを表す記号」では、作用ということばが出てきている。私は昔、この「作用」ということばがわからなかった。本書の p.030 から引用する。

この本では，いままで「空間の動き」を群の元のイメージとして使ってきました．空間内の点や線分や多角形に焦点を合わせると，群の元は空間と一緒にこれらの図形を動かしていることが分かります． この動かすもの（群の元）と動かされるもの（空間内の図形）の関係を表したのが作用です． 「空間の動き」で生成される群を `G` を用意します． 空間内に存在する有限個の図形の集合を `X` とします．このとき，位置が固定された `X` の元 `x` が「空間の動き」`a` で移った先を `x^a` で表し，`a` が `x` に作用したと呼ぶことにします．（後略）

なるほどなあ。これならばわかるような気がする。主語が群で、目的語が群ではない何らかの構造を持った相手だということがわかった。本章には置換などもっといろいろ書かれているが、 先に行ってみる。

「第 4 章 軌道:群が対称性を作る」では、軌道ということばがお目見えする。

書誌情報

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