表現行列とは何だろうか？ 以下、体 `RR` や体 `CC` をまとめて `K` とする。
以下は、有馬、浅枝著演習線型代数の p.66 から、 多少変えて引き写した。
体 `K` 上のベクトル空間を `U, V` とする。`(:bbu_1, bbu_2, cdots, bbu_n:)` が `U` の基底、
`(:bbv_1, bbv_2, cdots, bbv_m:)` が `V` の基底とする。
線形写像 `F:U->V` に対して
`(F(bbu_1) quad F(bbu_2) quad cdots quad F(bbu_n)) = (bbv_1 quad bbv_2 quad cdots quad bbv_m)((a_(11),cdots,a_(1n)),(vdots,,vdots),(a_(m1),cdots,a_(mn))), a_(ij) in K`
で定まる `(m, n)` 型の行列 `M(F) = (a_(ij))_(1 le i le m, 1 le j le n)` を、
基底`(:bbu_1, bbu_2, cdots, bbu_n:), (:bbv_1, bbv_2, cdots, bbv_m:)` に関する `F` の表現行列という。
演習問題をp.67 から引き写す。
`RR^3` の自然基底に関する線型写像 `L` の表現行列を求めよ。
`L:RR^3 -> RR^3, quad ((x),(y),(z)) |-> ((y+2z),(-x+3z),(-2x-3y))`
きっと私ならこうしてしまうだろう。`L` を行列とすれば、
`L((x),(y),(z)) = ((y+2z),(-x+3z),(-2x-3y))`
となるような `L` があればいいな。視察により、こうだ。
`L = ((0,1,2),(-1,0,3),(-2,-3,0))`
でも、この解答は大きく減点されるだろう。まず、自然基底に関する、という条件が全く考慮されていない。
それに `L` は線型写像であり、表現行列ではない。`L` の表現行列だから `M(L)` と表記しないといけない。
戻って、自然基底に関する、という個所をどう取り込むか。自然基底とは次のベクトルをいう。
`bbe_1 = ((1),(0),(0)), quad bbe_2 = ((0),(1),(0)), quad bbe_3 = ((0),(0),(1))`
そこで、`bbe_1` に関する変換がどうなるかを確かめる。定義は、基底…, …に関するとあるが、
この設問ではどちらも自然基底と解釈すべきだろう。そうすれば、
`F((bbe_1), quad (bbe_2), quad (bbe_3)) = ((bbe_1),(bbe_2),(bbe_3)) ((a_(11),a_(12),a_(13)),(a_(21),a_(22),a_(23)),(a_(31),a_(32),a_(33)))`
別の定義を調べよう。以下は、理系のための線型代数から p.143-144 を多少変えて引き写した。
体 `K` 上のベクトル空間 `V` と、`V times V = {(bbc, bbd) | bbc, bbd in V}` から `K` への写像 `f` を考える。
`f` は次の３条件を満たすとする。
(1) `f(bbc_1 + bbc_2, d) = f(bbc_1, bbd) + f(bbc_2, bbd)`
(2) `f(a bbc, bbd) = af(bbc, bbd)`
(3) `f(bbc, bbd) = f(bbd, bbc)`
`n = dim V` とし、`bbv_1, bbv_2, cdots, bbv_n` は `V` の基底であるものとする。
`bbc = sum_(i=1)^n c_i v_i, quad bbd = sum_(j=1)^n d_j v_j quad (c_i, d_j in K) `
であれば、条件 (1), (2), (3) より
`f(bbc, bbd) = sum_(i=1)^n sum_(j =1)^n c_i d_j f(v_i, v_j)`
と表せる。ここで `a_(ij) = f(v_i, v_j)` とおけば
`f(bbc, bbd) = sum_(i=1)^n sum_(j =1)^n a_(ij) c_i d_j`
と書ける。この、 `a_(ij)` を `(i,j)` 成分とする `n` 次正方行列 `A = (a_(ij))` を、
基底 `v_1, v_2, cdots, v_n` に関して `f` を表す行列、または `f` の表現行列という。
このページの数式は MathJax で記述している。
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