「はじめに」から引用する：
大学に入学してすぐに習う科目に線形代数がある．行列と行列式がそのテーマであるが，抽象的に見直せば，これは，ベクトル空間の理論である． ベクトル空間とは，加法群に体の作用が与えられたものである． 体の代わりに環を考え，環の作用が与えられた加法群を環上の加群という． 本書では，ベクトル空間の一般化であるこの環上の加群を取り上げ，その理論の解説を行う．（後略）
章末には問題があり、巻末には章末問題の略解がある。
私は頭が弱いので、この本の内容は難しい。
一つぐらいは問題を解いておきたいが、できるだろうか。まず、p.29 の章末問題 (1) を見てみた。
(1) `R` を可換環，`M` を `R`- 加群，`varphi : M rarr M` を `R`-準同型写像とする． `R` 上の 1 変数多項式環 `R[X]` の元の `M` への作用を
`(a_0 + a_1X + cdots + a_nX^n) * m = a_0m + a_1varphi(m) + cdots + a_nvarphi^n(m)`(`m in M, a_0 + a_1X + cdots + a_nX^n in R[x]`) と定義すれば，`M` は左 `R[X]`-加群になることを示せ．
略解を見ると加群の定義を満たすことを確認すればよい．
とそっけない。仕方がない。自分でやってみよう。本書 pp.1-2 によれば、
環 `R` と空でない集合 `M` に対して `M` が左 `R` 加群であるとは次のことである。
(M1)`M` は + に関しアーベル群である．すなわち次の 4 条件を満たす。
(M1-1) 任意の `x, y, z in M` に対し、次が成り立つ。
(M1-2)`0 in M` が存在し、任意の `x` に対し、0 と呼ばれる `M` の元が存在し、次が成り立つ。
(M1-3)任意の `x in M` に対し、`x` に対応した元 `x' in M` が存在し、次が成り立つ。
(M1-4)任意の `x, y in M` に対し、次が成り立つ。
(M2)`R` の `M` への作用は次の 4 条件を満たす。ただし `a, b in R, x, y in M` である。
(M2-1) `a(x + y) = ax + by`
(M2-2) `(a+b)x= ax + bx`
(M2-3) `(ab)x= a(bx)`
(M2-4) `1x=x`
やってみようとしたが、あるところで躓いてできなかった。どこで躓いたかは内緒だ。
このページの数式は MathJax で記述している。
| 書名 | 代数学Ⅱ 環上の加群 |
| 著者 | 桂利行 |
| 発行日 | 2007 年 3 月 19 日 初版 |
| 発行元 | 東京大学出版会 |
| 定価 | 2400 円（本体） |
| サイズ | A5版 *** ページ |
| ISBN | 978-4-13-062952-2 |
| その他 | 川口市立図書館にて借りて読む |
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