木村　英紀：Fourier-Laplace 解析

概要

Fourier 解析と Laplace 解析について述べられている。

感想

フーリエ変換やラプラス変換は、数学や制御の時間に問題をいくつか解いたことがあるが、 忘れてしまった。 これらの有用性が私には身についていないのが残念なことである。

ギブズ現象

同書 p.8 にギブズ現象の説明があったので、私もグラフを書いて確かめることにした。 ギブズ現象 (Gibbs phenomenon) とは、不連続点を有する関数を近似するフーリエ級数を有限の項で近似するとき、 項を増加させても誤差の大きさが一定値以下にはならないことをいう。

たとえば、矩形波のフーリエ級数を求める。矩形波は次で表せる。定数は右のグラフとの都合上 4 倍している。
`x(t) = {(4, (0 le t le T//2 )),(-4, (T//2 le t le T)):}`

上記式のフーリエ級数は次のようになる。

`x(t) = 16/pi sum_(m=1)^oo 1 / (2m-1) sin {:(2pi(2m - 1))/T:} t`

ここで、`T = 2pi` とおき、`t` を `0` から `3pi` の間にとる。部分和の収束の状況を右のグラフに示す。 赤は `m = 1` のみ、緑は `m = 3` まで、青は `m = 10` までをとったときの曲線である。 不連続点 `0, pi, 2pi, 3pi` の近くには、「ひげ」が出ていることがわかる。これがギブズ現象である。

なお、ギブズは、物理化学や熱力学で有名な「ギブズの自由エネルギー」を提唱した物理学者である。

数式

数式の記述にはASCIIMathML を、表現にはMathJaxを使っている。

グラフは ASCIIsvg を用いている。

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