服部　晶夫：いろいろな幾何 II

概要

現代の幾何学として、多様体の幾何学を著者は掲げた。 その中で Morse 理論（モース理論）を紹介する。

多様体の思い出

多様体と聞いて思い浮かべるのは、数学科に進んだ知人のことである。 知人は大学に入ったときから多様体を勉強していた。 ある駅で会ったときいきなり「この多様体の本は面白いね」 に私に話しかけた。 私はまだ多様体という言葉すら知らなかったから絶句した。 このとき以来、多様体がわかる人は常軌をはずした人であると私は定義している。

しかし、だからといって、私が多様体がわからないことの言い訳にはならないのであった。 ちなみに、この知人は現在は知る人ぞ知る哲学者として活躍している。

不動点定理

p.6 に Brouwer の定理（ブラウアーの定理）が示されている。 この定理を示す前に、定義を与える。円盤 `D^2` を考える。定義は次の通りである。

`D^2 = {(x, y) in RR^2; x^2 + y^2 <= 1 }`

また、集合`S`から`S`への写像`h`に対して、`h(p) = p` となる元 `p in S` を `h` の不動点という。 ここで次の定理が成り立つ。

連続写像 `h : D^2 -> D^2` は必ず不動点をもつ。

この定理を知ったのは大学のときだが、なぜだかかっこいい気がした。

数式

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