`cos theta` の倍角公式や３倍角公式と呼ばれている等式がある。
この等式は、`cos 2 theta` が `cos theta` の 2 次式に、
`cos 3 theta` が `cos theta` の3 次式になっている特徴がある。
この特徴は `n` 倍角にもあてはまるだろうか、というのが発端である。
答からいえば、一般に`cos n theta` は、`cos theta` の `n` 次の多項式として表されることが証明できる。
このときの多項式 `T_n(x) (n >= 0) `を `n` 次の（第１種）チェビシェフ多項式と呼ぶ。
（第１種）とカッコでくくっているのは、チェビシェフ多項式には同じ多項式でも複数の種類があるからで、
この`T_n(x)`を他の種類と区別するときは第１種のチェビシェフ多項式と呼ぶ。
単にチェビシェフ多項式と呼ぶときは、通常第１種を指す。
他の種類、たとえば第２種のチェビシェフ多項式については後述する。
`cos 3 theta` 以上でも、加法定理と `sin^2 theta + cos^2 theta = 1`
の関係を何度も使えば、`cos 5 theta` まではすべて `cos theta` の多項式で表現できた。
こうなると一般の `cos n theta` も証明できそうな気がする。
`cos n theta` は `cos theta` の `n` 次多項式であらわされる`( n = 1, 2, ..., )`。
なお、この多項式を以下 `T_n(x)` と書く。また、`T_n(x)` はただ一つ存在する。
一意性は次のように言える。2つあったとしてそれらを`T_n(x)，hat T_n(x)`とおく。
`P(x)=T_n(x)- hat T_n(x)`とすると， `P(cos theta)= 0`
だから `-1 <= x <= 1` となるすべての `x` に対して
`P(x) =0` ここで，`P(x)`は`n`次以下の多項式だから，
恒等的にに`P(x)=0`となり，すなわち`T_n(x)=hat T_n(x)`が成り立つ。
このチェビシェフ多項式のページを書き始めたのは、2013年9月である。
2013 年 7 月から 9 月まで、大人気を博した「半沢直樹」というドラマがあった。
このドラマでは、タイトルロールの主人公が理不尽な仕打ちをうけたとき、主人公が
「やられたらやりかえす、倍返しだ！」と言い返す場面が有名になり、
この「倍返し」ということばが流行していた。全然関係ないが、
チェビシェフの多項式なら `n` 倍返しができる。
なお、`T_n(x)` を `n` の小さい順から具体的に示す。`T_0(x)`から `T_4(x)`
までは最初の漸化式の `cos theta` による式を書き換えただけである。
上記のグラフを色分けした。
橙：`T_1(x)`、赤：`T_2(x)`、紫：`T_3(x)`、緑：`T_4(x)`、青：`T_5(x)` である。
すべてが `x in [-1,1]` で `f_n(x) in [-1,1]` となっているようすがわかる。
ひとりごと２
この漸化式は、関数 `T_n(x)` の定義域 `x` については何も言っていない。
当初の定義は `cos theta` で表される多項式だったから、`x in [-1,1]` となる実数である。
では、これ以外の実数ではどうなのか、ということが気になる人がいるだろう。
その場合も含めた式の表現は、次のようになる。
`T_n(x) = {(cos(n cos^(-1)x), if abs(x) <= 1),(cosh(n cosh^(-1)x),if x >= 1), ((-1)^n cosh(n cosh^(-1) (-x)),if x <= -1):}`
一般には、定数 `T_0(x)` と １次式`T_1(x)` を定めたうえで、
`T_n(x)` を上記の漸化式で定める。`x` の範囲は実数である。
第１種のチェビシェフ関数では、`T_0(x)` = 1, `T_1(x) = x`である。
定理３
`T_n(x)` は次の式を満たす。
`T_n (-x) = (-1) ^ n T_n(x)`
定理３の証明
定理３は、`n` が偶数なら `T_n(x)` が偶関数であり、`n` が奇数なら `T_n(x)` が奇関数であることをいっている。
`T_1(x)` は奇関数であり、`T_2(x)` が偶関数であることは定義より明らか。
`n` が奇数のとき、`T_(n+1)(x)` は偶関数、`T_n(x)` は奇関数だから
ひとりごと３
わざわざ数学的帰納法を使わなくても、また偶奇数で場合分けしなくてもよさそうだが、
これが一番確実だろう。
定理４
`T_n(x)` の係数については次が成り立つ。
定数項は、 `n` が偶数なら `(-1)^(n/2)` 、`n` が奇数なら 0
1 次の係数は、`n` が偶数なら 0、`n` が奇数なら `(-1)^((n-1)/2) n`
2 次の係数は、`n` が偶数なら `(-1)^(n/2 - 1) n^2/2` 、`n` が奇数なら 0
`n` 次の係数は `2^(n-1)`
定理４の証明
数学的帰納法を使う。なお、初期の値は実験の項を参照。
定数項
`n` が奇数のとき `T_n(x)` は奇関数だから定数項はゼロ。
`n` が偶数のとき
`T_(n+2) (x) = 2 x T_(n+1)(x) - T_n(x)`
だから、`T_(n+2) (x)` の定数項は絶対値が1で、符号は`T_n(x)`の定数項の反対となる。
`n = 2` のとき定数項は -1 だから、一般の `n` の定数項は `(-1)^(n/2)` となる。
1次の係数
省略
2次の係数
省略
`n`次の係数
`T_(n+2) (x) = 2 x T_(n+1)(x) - T_n(x)` から、`k + 1` 次の係数は `k` 次の係数の 2 倍である。
`T_1(x) = x` だから 1 次の係数は 1 である。以上から、 `n` 次の係数は `2^(n-1)`となる。
ひとりごと４
奇数と偶数を分けるのが面倒になってしまった。
第１種と第２種
定理１
`n` を1以上の自然数とする。
`sin(n theta) ` は `cos theta` の`n-1`次の多項式と `sin theta` の積であらわせる。
定理１の証明
以下、定理１の `cos theta` の `k` 次多項式を `U_(k-1)(x)` と記す。
この `U_k(x)` は第２種のチェビシェフ多項式と呼ばれる。
`n = 1` のとき、`sin n theta = sin theta ` 。
つまり、`U_0(x)` と `sin theta` の積であらわせる。`U_1(x) = 1`
`sin (k+1) theta` ` = 2 sin k theta cos theta - sin (k - 1) theta)`
` = 2 U_k(cos theta) * sin theta * cos theta - U_(k-1)(cos theta) * sin theta`
`= {2 U_k(cos theta) * cos theta - U_(k - 1)(cos theta) } sin theta`
{} 内は `cos theta` の `n` 次多項式だから、左辺も `cos theta`の`n`次多項式に `sin theta`
を掛けたものになっている。よって、証明された。
ひとりごと５
第２種のチェビシェフ多項式 `U_n(x)` の漸化式は、第１種のそれ `T_n(x)` と全く同じなのは面白い。
両者は n = 0 と n = 1 の初期値が違うだけである。
なお、第２種に U の字を用いているのは、T の次が U だったからだろう。
定理２
第１種のチェビシェフ多項式`T_n(x)`と第２種のチェビシェフ多項式`U_n(x)` の間には、
次の関係が成り立つ。
`T_n^′(x) = n U_n(x)`
定理２の証明
`T_n(cos theta) = cos n theta` を `theta` で微分すると、
`- sin theta T_n^′(cos theta) = - n sin n theta`
ここで `sin n theta = sin theta S_n (cos theta) ` であるから、
`sin theta T_n^′(cos theta) = n sin theta S_n (cos theta)`
`sin theta != 0` のとき、両辺を `sin theta` で割れば与えられた式が得られる。
`sin theta = 0` であっても与えられた式は成り立っている。
ひとりごと２
`U_n(x)` を具体的に書き出してみよう。
`U_1(x) = 1`
厳密な定義が特徴の数学でも、このように揺れがある。
ましてほかの学問では、同じことばでも複数の定義があることは多いだろう。
直交性
`T_n(x)` と `T_m(x)` の直交性を調べよう。
定理１
`int_-1^1 T_n(x) T_m(x) (dx) / (sqrt(1 - x^2)) =
int_0^pi cos m theta cos n theta d theta = {(0, m != n),(pi, m = n = 0),(pi/2, m = n >=1):}`
定理１の証明
`int_-1^1 T_n(x) T_m(x) (dx) / (sqrt(1 - x^2)) = int_0^pi cos m theta cos n theta d theta `
上式は、`m = n = 0` のとき、被積分関数は定数 1 となるので、値 `pi` を取ることは自明。
以上をまとめて、`T_n(x)` は区間 [-1,1] 上の重み `1 / (sqrt(1-x^2))`の直交関数系を成している、という。
ひとりごと
これから、正規直交性や関数空間についての話が広がる。正規直交性を満たすためには、
あらかじめ係数を正規性を満たすように、すなわち適当な係数 `alpha` を掛けたチェビシェフ多項式 `tilde(T)_n(x) = alpha T_n(x)` に対して、
係数の不定性を解消するもう一つの方法は、モニック多項式、すなわち最高次の係数が 1 の多項式を選ぶ、というものである。
チェビシェフ多項式の場合はむしろこちらがふつうであろう。
母関数
母関数（generating fucntion）とは、数列などの有用な情報を内部に持つ、形式的ベキ級数をいう。
定理１
チェビシェフ多項式`T_n(x)`の母関数は `(1-tx) / (1 - 2tx + t^2)` である。すなわち、
定理１の証明
`sum_(t=0)^oo t^n cos(n theta) = Re(sum_(n=0)^oo t^n e^(i n theta)) = Re (1 / (1 - t e^(i theta))) = 1/2(1/(1 - t e^(-i theta)) + 1/(1 - t e^(i theta))) = 1/2 (1 - t e^(-i theta) + 1 - t e^(i theta)) / abs(1 - t e^(i theta))^2 = (1 - t cos theta) / (1 - 2 t cos theta + t^2)`
ひとりごと１
まず、母関数の取り扱い方を学ばないといけない。
（この項つづく）
ミニマックス原理
チェビシェフ多項式がもつ性質として有名なミニマックス原理を調べる。
定理１
`T_n(x)` = 0 の解は `cos ((2k + 1)pi)/(2n) ` (ただし、`k = 0, ..., n - 1` ) で表される。
定理１の証明
`x in [-1, 1]` で考える。すると `x = cos theta` とおけるので、
`x = cos theta` であるから、
となる。`T_n(x)` は `n` 次の多項式であるから、`T_n(x) = 0` には高々 `n` 個の解しかない。
いっぽう上記は解が `n` 個あることを示している。よって証明された。
ひとりごと１
`T_n(x) = 0` の解は、区間(-1,1)に規則的に分布していることがわかる。
`n` が小さいときは、四則と根号で解を表すことができる。
定理２
`T_n′(x) = 0` の解は `cos ((k pi)/n) ` (ただし、`k = 1, 2, ..., n - 1` ) で表される。
定理２の証明
`x in [-1,1]` では `T_n(x) = T_n(cos theta) ` とおける。
`T_n(cos theta) = cos n theta`
であるから両辺を `theta` で微分すると、
ひとりごと２
`x in [-1,1]` では、`T_n(x)` のグラフは三角関数のようにみえる。
さて、これからどうなるか。
ここで、用語の定義をする。
ある区間において、関数 `f(x)` から作られる絶対値関数 `abs(f(x))` の最大値を、
この区間における関数`f(x)` の最大偏位という。
また、`n`次多項式で、最高次、すなわち`x^n` の項の係数が 1 である多項式をモニック多項式という。
定理３
`n` 次のモニック多項式`f_n(x) = x^n + p_1x^(n-1) + ... + p_n` の
`-1 <= x <=1` における最大偏位を `d` とすると `d >= 1 / (2^(n - 1))` である。
等号は、`f_n(x) = 1/ 2^(n-1)T_n(x) ` のときに成立し、かつそのときに限る。
定理３の証明
まず、定理１と定理２から言えることを確認する。
`T_n´(x) = 0` の解を大きいほうから `x_1 > x_2 > ... > x_(n-1)` と並べると、
隣同士の `x_i` については `T_n(x_i) ` は＋１と－１を交互にとる。また、`T_n(1) = 1`、
`T_n(-1) = (-1)^n` であることを改めて確認する。
さて、定理を背理法で証明する。
`1 <= x <=1` において、`d = abs(f(x)) < 1 / 2^(n-1)` と仮定する。
次に、`f(x)`の `1 <= x <=1` における最大偏位が`1/2^(n-1)` であれば、
`f(x) = 1 / 2^(n-1) T_n(x)` に限られることを示す。これは、
リンク[6]の＜さらなる性質＞を参照してほしい。
定理４
区間[-1,1]上で、`f(x) = x^(n+1)` に対する `n` 次の最良近似は `x^(n+1) - 1 / 2^n T_(n+1)(x) ` であり、
最大偏位は `2^(-n)` である。
定理４の証明
文献３の pp.12-13 を参照。
ひとりごと４
大学生のとき、この問題を特殊化した問題が出された。`f(x) = x^3` を [-1,1] の範囲で、
`x` の 2 次式以下の多項式で最良近似せよ、という問題だったと思う。
しかし、手も足も出なかった覚えがある。
今これだけチェビシェフ多項式のことを書いているのは、このときのトラウマなのだろう。
微分方程式
定理１
`abs(x) <=1` における `T_n(x)`、すなわち `y = T_n(x) = cos(n cos^(-1) x)` は次の微分方程式を満たす。
`(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0`
定理１の証明
`y = cos(n cos^(-1) x)` の両辺を `x` で微分する。
`dy/(dx) = -n (d/(dx) cos^(-1) x) sin (n cos^(-1) x) = n / sqrt(1 - x^2) sin (n cos^(-1) x)`
`(d^2y)/(dx^2) = ( n / sqrt(1 - x^2))^' sin (n cos^(-1) x) + ( n / sqrt(1 - x^2)) (sin (n cos^(-1) x))'
= (nx)/((1-x^2)sqrt(1-x^2)) sin(n cos^(-1) x) - n^2/(1-x^2) cos (n cos^(-1) x)`
与えられた微分方程式の左辺を計算する。
ひとりごと１
最初は漸化式から証明しようとしたが途中であきらめた。
そこで、`T_n(x)` を表した `cos x` の式から証明することにした。
別の証明
`y = T_n(x) = cos n theta` の辺々を２回微分することにより、次の式が得られる。
よって、`T_n(x)` は次の微分方程式
`d^2 / (d theta^2)` ` = (dx) / (d theta) (d) / (dx) ((dx)/(d theta) (d) / (dx))` ` = - sin theta (d) / (dx) ( -sin theta (d)/(dx))` ` = sin^2 theta (d^2) / (dx^2) - sin theta ((d)/(dx) sin theta) d / (dx) `
ここで、右辺の第1項に `sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - x^2` を用い、 右辺の第2項には、`sin theta = sqrt(1 - x^2)` より得られる
`(d)/(dx) sin theta = (d)/(dx) sqrt (1 - x^2) = x / sqrt(1 - x^2)` を用いて、
超幾何級数
ガウスの超幾何級数(Gaussian hypergeometric series)、
あるいは単に超幾何級数（hypergeometric series）、
超幾何関数 (hypergeometric function)とは、
次の形であらわされる関数をいう。
`F(a, b, c; z) = sum_(k=0)^oo ((a)_k(b)_k)/((c)_k k!) z^k`
次のようにも書ける。
`F(a, b, c; z) = 1 + sum_(k=1)^oo (a (a+1) ... (a+k-1) b (b+1) ... (b+k-1))/(c (c+1) ... (c+k-1) k!) z^k`
定理１
`T_n(x)` は次の超幾何級数であらわされる。
`T_n(x) = F(-n, n, 1/2; (1-x)/2)`
定理１の証明
Fの式を書き下ろしていこう。
`F(a, b, c; z) = 1 + (ab)/(1c) z + (a(a+1)b(b+1))/(2c(c+1)) z^2+
(a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2))/(6c(c+1)(c+2)) z^3
+ (a(a+1)(a+2)(a+3)b(b+1)(b+2)(b+3))/(24c(c+1)(c+2)(c+3)) z^4 + ... `
`n = 0` のとき、`T_0(x) = F(0, 0, 1/2, (1-x)/2) = 1`
`n = m` のとき、`a` は `-m` から始まり + 1 ずつ加えられるので、`z^(m+1)` の項以降は係数が 0 になる。
よって、n が有限の整数である限り、超幾何関数も有限項の和としてあらわせる。
さて、チェビシェフ多項式での超幾何級数の表現を調べよう。係数の分母にある、
`1/2, 3/2, 5/2, ... (2k-1) / 2`の 分母 2 のベキ乗と、項の係数である
`((1-x)/2)^k` の 分母の 2 のべき乗は打ち消し合う。その他、必要な計算をして次の式が得られる
ひとりごと１
なぜ、上記の関数を超幾何級数というのか、わからない。
では、超がつかない、幾何級数ならわかるだろうか。
幾何級数とは等比級数の別名で、等比数列の総和のことをいう。
たとえば、`2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n` のような級数だ。
もっともなぜこの級数が「幾何」なのかがわからない。
私の仮説は、幾何の証明は比例をもとにしているから、
比例として扱えるものを幾何というようになったのだろう、というものだ。
そうすると、項の係数にいっぱい`a, b, c`の式がついているのが「超」である所以なのだろう、
とむりやり自分を納得させている。
ゲーゲンバウアー多項式
ゲーゲンバウアー多項式 `C_n^((alpha)) (x)` とは、区間 [-1,1] 上で定義される重み関数 `(1-x^2)^{alpha-1/2}` の直交多項式をいう。
この多項式は、チェビシェフ多項式をはじめ、区間 [-1,1] 上の直交多項式として知られるルジャンドル多項式などを一般化した多項式として知られている。
漸化式を用いた定義は次の通りである。
`C_0^((alpha)) (x) = 1`
ここで、`alpha = 1` とした漸化式 `C_n^((1))` は、
第 2 種のチェビシェフ多項式 を表す。代入してみると、実際に満たしていることがわかる。
`C_0^((1)) (x) = 1` ヤコビ多項式
ゲーゲンバウア多項式をさらに一般化した事例はヤコビ多項式として知られる。
詳細は追って加筆する。
明示式
定理１
`T_n(x)` は次の式であらわされる。ただし `i` は虚数単位である。
`T_n(x) = 1/2 ((x + i sqrt(1 - x^2) )^n + (x - i sqrt(1 - x^2))^n)
= 1/2 ((x + sqrt(x^2 - 1) )^n + (x - sqrt(x^2 - 1))^n)`
定理１の証明
`x in [-1,1]` のとき、`x = cos theta` とおくと次の式が成り立つ。
`T_n(cos theta)`
`= 1/2 (e^(i n theta) + e^( -i n theta))`
`= 1/2 ((e^(i theta))^n + (e^(-i theta))^n )`
`= 1/2 ((x +- i sqrt(1 - x^2))^n + (x -+ i sqrt(1 - x^2))^n )`
(複号同順)
`x in [1, oo)` のとき、`x = cosh (t)` とおくと次の式が成り立つ。
`T_n(cosh theta)` `= 1/2 (e^(nt) + e^(nt))`
`= 1/2 ((e^t)^n + (e^(-t))^n )` `= 1/2 ((x +- sqrt(x^2 - 1))^n + (x -+ sqrt(x^2 - 1))^n )`
(複号同順)
`x in (-oo, -1]` のときは、`x = -cosh (t)` とおけばよい。あとは符号に注意して、
`x in [1, oo) ` のときとほぼ同様に証明できる。
（証明終わり）
ひとりごと１
`T_n(x)` は整数係数の多項式なのに、式で書くと平方根はおろか、虚数も出てくる。
３次方程式の解のようだ。
定理２
`T_n(x)` は次の式であらわされる。ただし `[x]` は `x` を超えない最大の整数である。
`T_n(x) = sum_(k=0)^([n/2])(-1)^k ((n),(2k)) x^(n-2k)(1-x^2)^k `
定理２の証明
定理１の式の両辺を２倍した
`2T_n(x) = (x + i sqrt(1 - x^2) )^n + (x - i sqrt(1 - x^2))^n`
第１項の展開結果は
第２項の展開結果は
第１項＋第２項の和をつくると、２項係数`((n),(k))`の `k` が奇数である項はプラスマイナスが打ち消し合う。
また、`i^2 = -1` に注意すると、`n` が偶数のときは次のとおりとなる。
`2 ((n),(0))x^n - 2 ((n),(2)) x^(n-2)(1-x^2) + ... + 2 ((n),(n))(-1)^(n/2)(1-x^2)^(n/2)`
また、`n` が奇数のときは次のようになる。
`2 ((n),(0))x^n - 2 ((n),(2)) x^(n-2)(1-x^2) + ... + 2 ((n),(n-1))(-1)^((n-1)/2)(1-x^2)^((n-1)/2)`
これらをまとめれば定理２の式が得られる。（証明終わり）
ひとりごと２
２項係数 `((n),(k))` は `{::}_(\n)C_k` ともつづる。
この `n` と `k` のことをそれぞれどのような用語でいうのかわからなかった。
というのは、式 `a/ b` があるとき、a は被除数、b は除数という用語があるのに、
式 `((n),(k)) = (k!(n-k)!)/(n!) ` についてはそのような用語がなさそうなのだ。
わからないことはいろいろある。
昇降演算子
昇降演算子とはききなれない名前だが、定義はこうだ。一般に階数 `n` が定義された関数
`f_n(x)` に対し
`n` が増加／減少するような演算子が存在するとき、その作用をする演算子を昇降演算子と呼ぶ。
チェビシェフ多項式にも昇降演算子がある。
以下、リンク [11] に従い昇降演算子を見ていく。
定理１
関数 `T_n(x)` に対して下記が成り立つ。
この `[ * ]` 内が昇降演算子である。
定理１の証明
`y = T_n(x)` は次の微分方程式を満たす
`(1-x^2)y″-xy′+n^2y=0`
両辺に`(1-x^2)` を乗じて `y′ = (dT_n(x)) / (dx)` に注意すると次の式が得られる。
`(1-x^2)^2 (d^2T_n(x)) / (dx^2) -(1-x^2) (dT_n(x)) / (dx) +n^2(1-x^2) T_n(x) =0`
左辺は次のように分解できる(リンク11参照)
`[(1-x^2) d / (dx) - (n-1)x ]*[(1-x^2)d/(dx) + nx] T_n(x) +n(n-1) T_n(x) =0`
このことから、
となる昇降演算子が存在することがわかる。
次に，`lambda_n，tilde lambda_n` を決めるために、
チェビシェフ多項式を次数の高い方から数項を書き下す。
`T_n(x) = n/2 sum_(m=0)^(|__n/2__|) ((-1)^m (n-m-1)!)/(m!(n-2m)!) (2x)^(n-2m)`
であることを用いて同じ次数の項を比較すれば、`lambda_n = -n, tilde lambda_n = n`が得られる。
大学入試問題から
チェビシェフ多項式は、出題者からみれば大学入試問題として絶好の題材といえる。たとえば、次の観点が挙げられる。
三角関数の加法定理を理解しているか。
漸化式を理解しているか。
絶対値に関するセンスがあるか。
（直交関数系を確認するための）積分を理解しているか。
解と係数の関係を理解しているか。
問題１
定理２の漸化式を考える。
`T_(n+2) (x) = 2 x T_(n+1)(x) - T_n(x)`
ただし `T_0(x) = 1, T_1(x) = x` とする。`T_5(x)` の式を具体的に求め、`T_5(x) = 0` を解け。
問題１の答
`T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x` である。`T_5(x)` = 0 を解くと、
ひとりごと１
のちに見る通り、`f_n(x) = 0` の `n` 個の解 `alpha_i` はすべて実数、単根で `-1 < alpha_i < 1`
を満たすという不思議な性質をもっている。
問題２
問題１の漸化式および初期値で定まる`T_n(x)` に対して 、n が 1 以上の整数であるとき、
`T_n(cos theta) = cos n theta` を満たすことを示せ。
問題２の答
数学的帰納法で証明する。
`T_(k - 1) (cos theta) = cos (k - 1) theta , T_k (cos theta) = cos k theta` が成り立つとする。
三角関数の加法定理から
`cos (k + 1) theta + cos (k - 1) theta = cos k theta cos theta` が成り立つ。よって、
問題３
`x^3` の係数が 4 である 3 次関数 `f(x)` が区間 `[-1, 1]` で `abs(f(x)) <= 1` をみたすとき、
`f(x) - T_3(x)` は恒等的に 0 であることを示せ。
解答３
区間 `[-1, 1]` 内の任意の `x` に対し `abs(f(x)) <= 1` であるから、`f(x) + 1 >= 0, f(x) - 1 <= 0`。
ひとりごと３
最高次の係数 4 である 3 次関数 `f(x)` が、区間 `[-1, 1]` という壁と
`abs(f(x)) <= 1` という天井と床に囲まれて暴れる姿を思い浮かべる。
`T_n(x)`のグラフ も参照してほしい。
このような条件では、自動的にチェビシェフ多項式になってしまうというのが証明できてしまう。
なんとも恐ろしいことだ。では`(-oo, -1)` と `(1, oo)` ではどうなってしまうのだろうか。
それが問題２である。
なお、ある区間において、関数 `f(x)` から作られる絶対値関数 `abs(f(x))` の最大値を、
この区間における関数`f(x)` の最大偏位という。このことばを使って問題１を言い換えれば、
`x^3` の係数が 4 である 3 次関数 `f(x)` の区間 `[-1, 1]` における最大偏位が 1 であるとき、……
となる。
問題４
3 次関数 `f(x)` が区間 `(-1, 1)` で `abs(f(x)) < 1` をみたすとき、
`abs(x) > 1 ` なる任意の実数 `x` に対して `abs(f(x)) < abs(T_3(x))` を示せ。
解答４
`F(x) = f(x) + T_3(x)` とおくと、下記の４式が成り立つ。
よって、3 次方程式 `F(x) = 0` は、`[-1, -1/2), (-1/2, 1/2), (1/2, 1]` の３区間で解をもつ。
これまでの値に関する考察と `f(x)` と `T_3(x)` のグラフから、
`x < -1` で `F(x) < 0`、 `x > 1` で `F(x) > 0` がいえる。
よって、`x < -1` で `f(x) < -T_3(x)` かつ `x > 1` で `f(x) > -T_3(x)` である。
同様に `F~(x) = - f(x) + H_3(x) ` を考えることによって、
`x < -1` で `T_3(x) < f(x)` かつ `x > 1` で `f(x) < T_3(x)` であることがわかる。
ひとりごと４
檻[-1, 1]×[-1,1]を暴れまくっていた `T_3(x)` は、
`x` が檻から出ると当然暴発する。他の３次関数より絶対値が大きくなるほどだ。
2013年9月、時の総理大臣である安倍晋三は、オリンピック招致の場で「状況はコントロールされている」、
「汚染水は港湾内で完全にブロックされている」という意味のことを英語で演説した。
[-1,1]の範囲は、チェビシェフ多項式のように値が-1と1の壁でブロックされていればよいのだが、
当然のことながら、汚染水はチェビシェフ多項式ではない。
そして上記の範囲を超えると、同じ次数の多項式ではチェビシェフ多項式の暴れ具合にはかなわないのだ。
問題5
`cos 5 theta = f(theta) ` を満たす多項式 `f(x)` を求めよ。
`cos (pi / 10) cos ((3pi) / 10) cos ((7pi) / 10) cos ((9pi) / 10) = 5/16 ` を示せ。
問題5 の解答
1. は加法定理を繰り返し使えばよい。結果だけ示すと、
2. の解答
ひとりごと5
解と係数の関係から、４つの解を `alpha, beta, gamma, delta` とおくと、
次の関係がなりたつ。
なお、本問の結果は `n` が一般の整数の場合に拡張されて、次の結果が得られる。
上記問題は、下記の一般化式で `m = 2` の場合にあたる。
問題6
`n in NN` とする。
すべての実数 `theta` に対し、
`f_(n)^'(x) = n g_n(x) `を示せ。
`p` を 3 以上の素数とするとき、`f_(p)(x)` の `p - 1`次以下の係数はすべて `p` で割り切れることを示せ。
解答６
第１種と第２種 の項参照。第１種と第２種 の項参照。1. 2. より明らか。
問題7
`n in NN` とする。
`n` に対してある多項式 `p_n(x), q_n(x)` が存在して、
このとき、`n > 1`ならば次の等式が成立することを証明せよ。
問題７の解答
`n = 1` のとき、`sin n theta = sin theta` であるから、
`tan theta = sin theta / cos theta` より `p_1(x) = x` は存在する。
また、`cos n theta = cos theta` であるから、`q_1(x) = 1` （定数）とすれば式は満たされる。
`i` を虚数単位 `sqrt(-1)` とすれば、`sin n theta` の両辺に `i` を乗じて辺々足すと。
ひとりごと７
`tan theta` も出てくるとは思わなかった。なかなかこれはこれで対称性が美しい。
問題８
`cos ((2 pi) / 7) + cos ((4 pi)/7) + cos ((6 pi)/7) =a,`
角 `theta` (ラジアン)が
`theta = (2 pi) / 7 ` のとき, `cos theta` が解のひとつであるような3次の方程式を求めよ.
設問 2 の結果を用いて, `a` および `b` の値を求めよ。
問題８の解答
`cos 2 theta = 2 cos^2 theta - 1` より、
`cos theta = cos (2 pi -theta)` だから、` theta = (2 pi) / 7` のとき、
`(2 pi)/ 7` と同様、 `(4 pi)/ 7` 、 `(6 pi)/ 7` も 2. の式の解であることが同様にしていえる。
したがって解と係数の関係から、`a = -1/2, b = 1/8`
ひとりごと８
`cos {:(2 pi)/7:}` の値は具体的には表せないのに、`cos{:(2 pi)/7:} + cos{:(4 pi)/7:} + cos{:(6 pi)/7:}`
の値がわかるというのは実に不思議だ。
問題 9
3 次の整式 `f(x) = x^3 + x^2 + px + q` （ただし，`p != q, q != 0`），
および `g(x) = (-1) / (x + 1)` が次の条件 (*) を満たすとする。
`p, q` の値を求めよ．
`f(x) = 0` は `-2 < x < 2` の範囲に 3 つの実数解をもつことを示せ．
`f(x) = 0` の任意の解を `2cos theta` とするとき，`2cos 2theta, 2 cos 3theta` も解であることを示せ．
`2cos theta (0 < theta < pi)` が，`f(x) = 0` の解であるとき，`theta` の値を求めよ．
問題 9の解答
この問題の解答は、`p, q` が実数としてよいか、それとも複素数とすべきかによって、書き方が変わる。
もちろん、最初から複素数と仮定すれば問題ないが、それでは解答が大変になる。そこで、`p, q` ともに実数として考える。
なお、`x` や `alpha` は複素数を想定しなければならない。なぜかというと、設問 2 で `f(x) = 0` は（中略）
3 つの実数解をもつことを示せとあるからだ。それまでは複素数解も考えに入れておかないといけない、ということだ。
1. `p, q` ともに実数とする。このとき `f(x) = 0` は少なくともの一つの実数解をもつ。この実数解を `alpha` とする。
残りの２解を `beta, gamma` とする。
(*) から、`beta = g(alpha) = -1 / (alpha + 1), gamma = g(beta) = -1 / (beta + 1) = - (alpha + 1) / alpha` となる
（なお、`g(gamma) = alpha` であることが計算するとわかるので、以上で 3 つの解は尽くされている）。
さて、`alpha, beta, gamma` は互いに異なる。なぜなら、このうちのどれか 2 つが等しいと仮定すると `alpha^2 + alpha + 1 = 0` となり、
このような実数 `alpha` は存在しないので矛盾する。したがって、`alpha, beta, gamma` は互いに異なる実数である。
解と係数の関係から、次が成り立つ。
`alpha + beta + gamma = alpha - 1/(alpha + 1) - (alpha + 1)/ alpha = -1` …… ①
③を計算して、 `-q = 1,` すなわち `q = -1` が得られる。
②から、`p = -alpha/(alpha + 1) + 1/alpha - (alpha + 1) = -1 + {1/(alpha + 1) + 1/alpha - alpha} -1 = -2 `
2. `(p, q)` = `(-2, -1)` が 1. で得られたので改めて`f(x)` を表す。
3. `alpha = 2cos theta` とおく。このとき、`2cos 2theta` を `alpha` で表すと、
ここで、(*) の結果から、`alpha^2 - 2` が `-1/(alpha + 1)` と等しいことが言えればよい。
` alpha^2 - 2 + 1/(alpha + 1)`
ここで分子は `f(alpha)` であるから 0 に等しい。よって、`2cos theta` が`f(x)`の解であれば `2cos 2theta` も `f(x)` の解である。
次に、`2cos 3theta` を `alpha` で表すと、
一方、`-1/(alpha +1)` が `f(x)` の解であるから、
`alpha^3 - 3alpha + (alpha +1 )/alpha = (alpha^4 - 3 alpha^2 + alpha + 1)/alpha`
この値もゼロである。よって証明は完了した。
4. `2costheta` が `f(x) = 0` の解であるから、3 より `2cos2theta` も `f(x)=0` の解であり、
`2cos4theta` も `f(x)=0` の解である。($)
なお、下記を参考にした。安田 亨：入試数学 伝説の良問 100 安田 亨：入試数学 伝説の良問 100 参照。
その他問題
後は問題のみ掲げる。ちょっとみたところチェビシェフ多項式の匂いがしないものもある。
問題Ａ
次の連立方程式は相異なる８組の解を持つことを示せ。
`{(y=2x^2 - 1),(z = 2y^2 - 1),(x = 2z^2 - 1):}`
問題Ｂ
関数 `f_n(x) (n = 1, 2, 3, ..., )` を次のように定める。
`f_1(x) = x^3 - 3x, f_2(x) = {f_1(x)}^3 - 3{f_1(x)}, f_3(x) = {f_2(x)}^3 - 3{f_2(x)},
f_(n+1)(x) = {f_n(x)}^3 - 3{f_(n-1)(x)}`
`a` を実数とする。`f_1(x) = a` を満たす実数 `x` の個数を求めよ。
`a` を実数とする。`f_2(x) = a` を満たす実数 `x` の個数を求めよ。
`n` を 3 以上の自然数とする。`f_n(x) = 0` を満たす実数 `x` の個数は `3^n` であることを示せ。
問題Ｃ
`T_n(x)` を第１種のチェビシェフ多項式とする。`sum_(n=1)^oo (1/3)^n T_n(1/2)` の値を求めよ。
問題Ｄ
`n` を 2 以上の整数とする。
(1) `(n - 1)`次多項式 `P_n(x)` と n 次多項式 `Q_n(x)` ですべての実数 `theta` に対して
(2) ` k = 1, 2, ..., n - 1` に対して
(3) `sum_(k=1)^(n-1)alpha_k = (2n^2 - 2) / 3 ` を示せ。
問題Ｅ
`x` の 5 次式 `f(x)` のグラフ `C:y=f(x)` が平行な 2 直線 `L, M` のそれぞれ 2 点で接しているような
`C, L, M` の実例を 1 つみつけよ。またその例について、`C` と`L` の交点と 2 つの接点との 3 点により
`L`から切り取られる 2 つの線分の長さの比を求めよ。
問題Ｆ
`xy` 平面の `n` 個の点 `(cos {:(2 pi k)/n:}, sin {:(2 pi k)/n:}) (k = 1, 2, ..., n) `
を頂点とする正 `n` 角形の周および内部を `D_n` とする。
このとき、`D_3, D_4, D_5, D_6, ..., ` の共通部分の面積を求めよ。
問題Ｇ
チェビシェフ多項式`T_(n+1)(x)` と `T_n(x)`について、
問題Ｈ
`cos{:pi/7:} - cos{:(2 pi)/7:} + cos{:(3 pi)/7:} = 1/2 ` を示せ。
問題Ｉ
`t` を実数として，数列 `a_1, a_2, ...` を `a_1 = 1, a_2 = t, a_(n+1) = 2t a_n - a_(n-1) (n >= 2) `
で定める。このとき，以下の問に答えよ。
(1) `t >= 1` ならば，`0 < a_1 < a_2 < a_3 < ... ` となることを示せ。
(2) `t <= -1` ならば，`0 < abs(a_1) < abs(a_2) < abs(a_3) < ... ` となることを示せ。
(3) `-1 < t < 1` ならば，`t = cos theta` となる `theta` を用いて， `a_n = sin {:n theta:} / (sin theta) (n >=1 ) ` となることを示せ。
問題 J
平面上の運動
を考える。`omega` が正の整数 `n` のとき、チェビシェフ多項式で書かれる軌道が存在することを示せ。
問題 K
` int_0^pi log (a + b cos x) dx ` の値を求めよ。
問題 L
閉区間 [-1, 1] 上において、最高次の係数が 1 である `n` 次の多項式 `P_n(x)` を考える。
` int_-1^1 abs(P_n(x)) dx ` が最小となるのは、`P_n(x)` が第2種のチェビシェフ多項式
解答は文献５の p.153 を参照のこと。
なお、問題 L の系として、次の入試問題がある。
2 次関数 `f(x) = x^2 + ax + b` に対して，`int_-1^1 abs(f(x)) dx = 1/2 ` が成立するとき、
曲線 `y = f(x)` は `x` 軸と異なる 2 点で交わり，それらの交点はともに 2 点 (-1, 0), (1, 0) の間にあることを証明せよ。
これは、文献 1 の p.302 （問題 94) である。
問題 M (東京医科歯科大学 2015 年前期)
実数 `a, b` に対し、`f(x) = x^3 - 3ax + b` とおく。`-1 <= x <= 1` における `abs(f(x))` の最大値を `M` とする。
このとき以下の各問いに答えよ。
`a > 0` のとき、`f(x)` の極値を `a, b` を用いて表せ。
`b >= 0` のとき、`M` を `a, b` を用いて表せ。
`a, b` が実数全体を動くとき、`M` のとりうる値の範囲を求めよ。
円周上の格子点
文献 6. は、グラフィクスに関する知見の宝庫である。その中に、
"Circles of Integral Radius on Integer Lattices" (by Alan W. Paeth) という解説がある。
概略を紹介しよう。以下、円周のことを単に円と呼ぶ。
ディジタル画像で正しい円を表すには、円が通る格子点がわかると便利だ。
そのような格子点を見つける規則的な方法は、単位円での `x` 座標を `abs(T_n(0.6))` にとることである。実際の格子点にするには、
単位円を `5^n` 倍に拡大する。
以下、実際の数値をあてはめて確かめよう。以下、`c_n = abs(T_n(0.6)), s_n= sqrt(1-c_n^2)` とし、`c_n, s_n, 5^n` の表を作る。
n `c_n` `s_n` `5^n` `5^n c_n` `5^n s_n` 1 0.6 0.8 5 3 4 2 0.28 0.96 25 7 24 3 0.352 0.936 125 43 117 4 0.5376 0.8432 625 336 527 5 0.07584 0.99712 3,125 237 3,116 6 0.658944 0.752192 15,625 10,296 11,753
以上から、次の問題を作ることができる。n は自然数とする。
`n > 1` のとき `c_n < 1` であることを証明せよ。
`s_n < 1` であることを証明せよ。
`5^n c_n` は整数であることを証明せよ。
`5^n s_n` は整数であることを証明せよ。
`5^n c_n` は 5 で割り切れないことを証明せよ。
`5^n s_n` は 5 で割り切れないことを証明せよ。
自分でもどのように証明してよいかわからない。まず 1. ならば、漸化式
`c_(n+2) = 1.2 c_(n+1) - c_n`
から `c_n` の一般項を求め、この一般項が 1 以上または -1 以下を取り得ないことをいう方針が考えられる。
あるいは、チェビシェフ多項式 `abs(T_n(x))` の極値を調べて、どんな `n` に対しても `x=0.6` では極値とはならないことを示す、
などの方針が考えられる。
2．も1と同様で、`c_n` の一般項から、この一般項が 0 を取り得ないことをいうか、
あるいはチェビシェフ多項式 `T_n(x)` の根はどんな `n` に対しても `x = 0.6` とはなりえないことをいう。
3. 以降は、一般項を出せばなんとかなるような気がする。
ちなみに、上記 `c_n` に関する漸化式から一般項を求めると次のようになる。
`c_n = 1/2 ((3+4i)/5)^n + 1/2 ((3-4i)/5)^n`
今後の予定
下記について取り上げる予定である。
数式とグラフの表現
数式の表現にはMathJax を使っている。
グラフは ASCIIMathML を使っている。
文献
安田 亨：入試問題 伝説の良問 100（講談社ブルーバックス） 藤田 毅彦：難問克服 解いてわかるガロア理論（東京図書）
森 正武、室田 一雄、杉原 正顕：数値計算の基礎（岩波書店）
D. E. Knuth：The Art of Computer Programming Vol.3 Sorting and Searching
西白保 敏彦：最良近似理論と関数解析、横浜図書
Andrew S. Glassner (ed.)：Graphics Gems 、Academic Press
リンク
チェビシェフ多項式
(ja.wikipedia.org)Chebyshev polynomials - Wikipedia, the free encyclopedia (en.wikipedia.org)
鉄緑会数学講師のひとりごと：チェビシェフ多項式 (blog.livedoor.jp)チェビシェフの多項式 (www004.upp.so-net.ne.jp)チェビシェフ多項式 (shadowacademy.web.fc2.com)Chebyshev多項式 (www14.ocn.ne.jp)
（Cauchy's Cafe (www3.ocn.ne.jp)の「…チェビシェフ多項式を知ろう」チェビシェフの多項式（青空学園） (aozoragakuen.sakura.ne.jp)コサインの n 倍角問題の背景を探る (21.xmbs.jp)普通の数学 5. n 倍角の公式 (www10.plala.or.jp)(現在リンク切れ）米村明芳氏のWebsite
(dl.dropboxusercontent.com/)からテーマ別入試問題研究講義―田中宏志研究室 (www.phys.shimane-u.ac.jp)から物理数学 I 平成25年度版テキスト数研通信（51号〜最新号） (www.chart.co.jp))数研通信（1号〜50号） (www.chart.co.jp)チェビシェフ多項式 (sshmathgeom.private.coocan.jp)
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