田坂　隆士：解析学入門

概要

標準的な大学教養課程の教科書である。

感想

大学に入って解析学の授業で使用した教科書。 結局今まで保管していたが、さすがに使うことがないので廃棄した。 ある定理の証明を教官から要求され、 この本に載っている証明を丸写しで提出したところ、 ところどころに突っ込みを入れられ、結局自分でわからずに提出したことがわかってしまい、 恥ずかしい思いをしたことがある。 (2009-02-07)。

有限個と無限個

25 ページから 26 ページにかけて、解析学で必ず出る、位相に関する命題がある。

命題 2.1

`n` 次元空間 `RR^n` において考える。

1. 有限個の開集合 `G_1, G_2, ..., G_q` に対して， 共通部分 `uuu_(k=1)^q G_k` は開集合である。
2. 任意個の開集合 `{G_lambda; λ in Lambda}` に対して， 和集合 `nnn_(i in Lambda) G_k` は開集合である。

さて、`Lambda` とはどのような集合だろうか、無限個を含む任意個の集合、 という気がするのだが、`Lambda` は以前のどのページでも定義されているようすがない。 ふしぎだ。いくつかのホームページをみると、`Lambda` に相当する集合は任意の集合でよいようだ。

そして本当にふしぎなのは、開集合の共通部分は有限個でないと開集合にならないのに対し、 和集合は無限個でも開集合になるということだ。 もちろん証明もできるのだけれど、納得しているかというと疑問だ。 無限の扱いは難しい。

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

書誌情報

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