寺野　寿郎　他（編） : 応用ファジィシステム入門

概要

ファジィシステムの基礎と応用を全６章にわたってのべる。

感想

クラスタリングについて考えよう。 クラスタリングとは、あるデータ群を何らかの尺度に基づいて いくつかのグル―プ（クラスタ）に分割する方法である。 グループの分割基準としては、同じグループに所属するデータは類似した性質をもち、 かつ異なるグループに所属するデータは異なる性質をもつ、というのが基本的な考え方だ。 以下は、同書の pp.136-138 に基づく。

いま、データ群が `n` 個からなるとし、個別のデータを、`mathbbx_1, mathbbx_2, ..., mathbbx_n` とする。 `mathbbx_j (1 le j le n ) ` は `d` 次元のベクトルである。 これを `c (2 le c lt n) ` 個 に分割することを考える。いま、 `mathbbx_j` が `k` 番めのクラスタに属する確からしさを `u_(kj)` とする。以下、これを帰属度と呼ぶ。 通常のクラスタリング（これをハードクラスタリングという）は、 `u_(kj)` は 0 か 1 の 2 値である`(u_(kj) in {0, 1})`が、ファジィ・クラスタリングでは 0 から 1 までの任意の値をとる`(u_(kj) in [0, 1])`ものとする。ただし、いずれの場合も k 番めのクラスタの帰属度は、 どれかのデータは 0 を超えること、 それから、一つのデータの各クラスタへの帰属度の合計は 1 になることが要請される。 式にすると次の通りだ。

`sum_j u_(kj) > 0 , sum_k u_(kj) = 1`

私が気になったのは、ファジィ c-means クラスタリングである。pp.136-140 にわたって解説されている。 ファジィ c-means 法は次の通りである。ここで、目的関数のほか、条件１と条件２は次の通りである。 `mathbbv_k` は、クラスタ `k` の中心となる `n` 次元ベクトルである。また、`U` は、 クラスタの帰属度`u_(kj)` を成分とする行列である。

条件1, 2 のもとで目的関数の極値を満たす `u_(kj), mathbbv_k` は、次のように求めることができる。 なお、各変数の右肩にある()内の数字は、反復の回数を表す。 また、収束を判断するための正の微小しきい値 `epsilon` が定義されているとする。

1. `m`とクラスタ数`c`を仮定し，条件 1 でノルムを適当に定義する。 また，U の初期値 `U^((0))`を適当に与える。`U^((0))` は `u_(kj)` とは無関係かつランダムに選んでよい。反復の回数を `p` とし、`p = 0` とする。
2. `U^((p))` と条件 2 を用いてクラスタ`k`の中心 `{mathbbv_k^((p))}` を計算する。
3. `{mathbbv_k^((p))}` と条件 1 を用いて `U^((p + 1))` を求める。
4. `||U^((p)) - U^((p-1))|| <= epsilon ` であれば終了する。上記が満たされなければ `p := p + 1` とし、 上記 2. 3. の手順を繰り返す。

一方で、ハード・クラスタリングでは次のようになる。 これは、一般に k-means 法と呼ばれるクラスタリングで、 上記で、m = 2 かつ `u_(kj)` は 0 か 1 の 2 値である`(u_(kj) in {0, 1})` 場合に相当する。

こちらの手順は次の通り。

条件1, 2 のもとで目的関数を最小化する `u_(kj), mathbbv_k` は、次のように求めることができる。 なお、各変数の右肩にある()内の数字は、反復の回数を表すことは同じ。 収束を判断するための微小定数は必要ない。

1. クラスタ数`c`を仮定し、 また U の初期値 `U^((0))` を適当に与える。`U^((0))` は `u_(kj)` とは無関係かつランダムに選んでよい。反復の回数を `p` とし、`p = 0` とする。
2. `U^((p))` と条件 2 を用いてクラスタ`k`の中心 `{mathbbv_k^((p))}` を計算する。
3. `{mathbbv_k^((p))}` と条件 1 を用いて `U^((p + 1))` を求める。
4. クラスタの割り当てが変化しない（`U^((p))` と `U^((p+1))` が同じ） 場合は終了。それ以外の場合は `p := p + 1` とし、 上記 2. 3. の手順を繰り返す。

以上は理論的な話である。実際には初期値 `U` は既知の情報が生かしてもっともらしいグループにとるのがよい。 そうすれば収束もうまく進むだろう。

誤植

かんせつが鬼門のようだ。

表記方法

数式は、ASCIIMathMLを用いて表記している。

書誌情報

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