矢野健太郎・石原繁 : 科学技術者のための基礎数学（新版）

概要

「新版のまえがき」から引用する。

この書物は，著者たちが前に公にした「科学技術者のための基礎数学」に，刊行以来本書を教科書として使って下さった先生方， また本書を参考書として学習された読者諸君からいただいた種々のご意見を参考にして， 十分の改訂を施して出来上がったものである．（後略）

各章本文には問題が、また各章末尾には演習問題があり、巻末にはこれらの問題解答がある。

感想

私は頭が弱いのでわからない。

一つぐらいは問題を解かないといけないだろう。問題解答で略となっている問題である。pp.79-80 から引用する。

7. 次の漸化式を証明せよ．
(1) `I(n) = sin^n x dx` とすれば

`I_n = 1/n {-sin^(n-1)x cos x + (n-1) I_(n-2)}`

(2) `I(n) = cos^n x dx` とすれば

`I_n = 1/n {sin^nx cos^(n-1) x + (n-1) I_(n-2)}`

(3) `I(n) = tan^n x dx` とすれば

`I_n = 1/(n-1) {tan^(n-1)x - I_(n-2)} (n != 1)`

(4) `I(n) = (sin^(-1))^n x dx` とすれば

`I_n = x(sin^(-1)x)^n + n sqrt(1 - x^2) (sin^(-1)x)^(n-1) -n(n-1)I_(n-2)`

部分積分をしてみよう。本書 p.63 にある部分積分法の公式

右辺に `I_(n-2)` が出ている。`I_n = int sin^(n-1) x sin x dx` として、部分積分してみるのがよさそうだ。
`I_n = int sin^(n-1) x sin x dx = -sin^(n-1)x cosx + (n-1)int sin^(n-2)x cos^2x dx = -sin^(n-1)x cosx + (n-1)int sin^(n-2)x (1-sin^2x) dx`
よって、 `I_n = -sin^(n-1)x cosx +(n-1)(I_(n-2) - I_n)`
`0 = -sin^(n-1)x cosx + (n-1)I_(n-2) - nI_n`
`I_n = 1/n(- sin^(n-1)x cosx + (n-1)I_(n-2))`

(2) も同じ要領でできそうだ。

(3) は、Web で調べてみたら、`I_n = int tan^x dx = int tan^(n-2)x tan^2x dx = int tan^(n-2)x (1/cos^2x - 1)dx = int tan^(n-2)x (1/cos^2x)dx - int tan^2 x dx = int tan^(n-2)x (tanx)'dx - I_(n-2)` とするのだ。驚きましたね。

(4) は難しそうだ。なお、`sin^(-1)x` は `Arcsin x` と書くのがいいような気がする。

8. `I(m, n) = int sin^m x cos^n x dx` について，次の漸化式を証明せよ．
(1) `I(m, n) = (sin^(m+1) x cos^(n-1) x)/(m + 1) + (n-1)/(m+1) I(m+2, n - 2) ( m + 1 != 0)`
(2) `I(m, n) = -(sin^(m-1) x cos^(n+1) x)/(n + 1) + (m-1)/(n+1) I(m+2, n - 2) ( n + 1 != 0)`
(3) `I(m, n) = -(sin^(m+1) x cos^(n+1) x)/(n + 1) + (m + n + 2)/(n + 1) I(m, n + 2) ( m + 1 != 0)`
(4) `I(m, n) = (sin^(m+1) x cos^(n+1) x)/(m + 1) + (m + n + 2)/(m + 1) I(m+2, n) ( m + 1 != 0)`

こんども部分積分で解決すると思われる。本書 p.63 にある部分積分法の公式

右辺に `I(m+2, n-2)` が出ているから、`I(m,n) = int sin^m cos^(n-1) x cos x dx = int sin^m cos^(n-1) x (sin x)' dx` としてみるのがよさそうだ。

`I(m+2, n-2) = sin^(m+1)x cos^(n-1) - int((sin^(m+1)x cos^(n-1)x)' sinx)dx`
右辺第２項を `J` とおく。以下 `sin^m x, con^n x` をそれぞれ `s^m, c^n` と略記する。
` J = int (s^(m+1) c^(n-1))' s dx= int ((m+1)s^(m+1) c^n - (n-1) s^(m+3)c^(n-2))dx = int (m+1)s^(m+1) c^n dx - int (n-1) s^(m+3)c^(n-2) dx`
`s^(m+3) = (1-c^2)s^(m+1)` だから、
` J = int (m+1)s^(m+1) c^n dx - int (n-1) (1-c^2)s^(m+1)c^(n-2) dx = int (m+n)s^(m+1) c^n dx - int (n-1) s^(m+1)c^(n-2) dx`
`J` の第1項と第2項を再度部分積分すればいいような気がする。
ただ面倒だ。もう少し考えてみる。

Yahoo 知恵袋に、整数 `m,n` に対して、`I(m,n)=int sin^mxcos^nxdx` と定義するとき、 `(m+n)I(m,n)=sin^(m+1)xcos^(n-1)x+(n-1)I(m,n-2) (m+n)I(m,n)=-sin^(m-1)xcos^(n+1)x+(m-1)I(m-2,n)` を示せ。という問題がわからないので教えてください(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp) という質問があったので見てみた。すると、回答があった。 この回答は、実質的に解答になっていて、部分積分を `I(m,n) = int (sin^mx cosx) (cos^(n-1)x) dx` として考える、ということを示していた。これには気が付かなかった。私の負けだ。以下この方針に基づいて `I(m, n)` の漸化式を導く。

`I(m,n) = sum sin^mx cosx・cos^(n-1)x dx = (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x - ((n-1)/(m+1))∫sin^(m+1)x・cos^(n-2)x (-sinx) dx`
が得られる。さらに右辺の積分を計算する。
`I(m,n)= 1/(m+1) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)/(m+1) sum sin^(m+2)x・cos^(n-2)x dx = 1/(m+1) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)/(m+1) I(m+2, n-2)`
これで (1) が導けた。(2) は、
`I(m,n) = sum cos^nx sinx・sin^(m-1)x dx`
と分けることで証明できるはずだ。導出は省略する。
(3) を考えよう。(1) をさらに変形する。
`I(m,n)= (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + ((n-1)/(m+1))∫sin^mx sin^2(x)・cos^(n-2)x dx = (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + ((n-1)/(m+1))∫sin^mx (1-cos^2(x))・cos^(n-2)x dx` `I(m, n)= (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)/(m+1)( I(m,n-2) - I(m,n) )`
`(1+(n-1)/(m+1))I(m,n) = (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)/(m+1)I(m, n-2)`
`(m+n)I(m,n) = sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)I(m, n-2)`
`(1+(n-1)/(m+1))I(m,n) = (1/(m+1)) sin^(m+1)x・cos^(n-1)x + (n-1)/(m+1)I(m, n-2)`
`n = n' + 2 ` とおいて上の式に代入すると、
`(m+n'+n)I(m,n+2) = sin^(m+1)x・cos^(n'+1)x + (n'+1)I(m, n')`
移項して整理すると
`(n'+1)I(m, n') = - (m+n'+n)I(m,n+2) + sin^(m+1)x・cos^(n'+1)x `
となる。両辺を `(n'+1)` で割って `n'` を改めて `n` でおくと (3) が得られる。
(4) は、(2) でえられた式を (3) の要領で変形していくといいだろう。

この置き換えが見えなかった理由について考えてみた。一般の `m` や `n` に関しては `int sin^mx` や `int cos^mx` が（漸化式以外の形では）求められない、 という知識がなまじあったために、`int sin^mx cosx` や `int cos^nx sin x` が求められるということに気が付かなかった、 ということではないかと思う。

なお、竹野茂治先生の、 cos^mx・sinⁿx の積分について(takeno.iee.niit.ac.jp) も参考になる。

引用

本書には参考文献が挙げられていない。

書誌情報

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