高村秀一 : 理工学のための電磁気学入門

概要

論理的な考え方によって電磁現象を読者が理解すること、そして各種法則がマクスウェル方程式に集約される過程で先人が苦労したことを読者が実感すること、 これらの意図が現れるよう、主として真空中の電磁気学に限定した（「はじめに」からの要約）。

感想

帯電球に基づく電位と電場

p.28 では、次の問題が出ている。

図 2.3 のように一様な表面電荷密度`Q_s`[C/m²] を有する半径 `a` の帯電球に基づく電位と電場を求めてみよう．

図は省略するつもりでいたが、以下の記述を引用するとどうも図を書かないわけにはいかないようだ。いかさまな図を描いた。図 1 である。 本書では方位角は `varphi` で表されている。電位 `phi` と混同しないでほしい。

さて、図 1 の濃い灰色の部分は微小面積要素 `dS` である。これは次のように表される。

`dS = a d theta a sin theta d varphi`

この `dS` にある電荷は、z 軸上にある点 `P(0, 0, r)` に次の式で寄与する。ただし、点 P と `dS` との距離を `rho` としている。

`d phi = 1/(4 pi epsilon_0) (dQ)/rho = 1/(4 pi epsilon_0) (Q_s a d theta a sin theta d varphi) / rho`

上式は方位角 `varphi` に関しては対称であるので、上式を `varphi` と `theta` に関して積分すると次のようになる。

`phi = int_0^(2pi)dvarphi int_0^pi d theta 1/(4 pi epsilon_0) (Q_s a^2 sin theta ) / rho = 1/(4 pi epsilon_0) int_0^pi 2pi Q_s a^2(sin theta d theta)/rho`

ここで、`z` 軸上の点 P（図示せず）、微小面積要素 `dS` と P 、原点とからなる三角形に関して余弦定理により、次の関係が成り立つ。

`rho^2 = r^2 - 2ar cos theta + a^2`

ここで `rho^2 = v` とおき微分すると

`dv = 2ar sin theta d theta`

が得られる。これを `phi` の式に代入して

`phi = 1/(4 pi epsilon_0) (2 pi Q_S a^2) / (2ar) int_(theta = 0)^(theta = pi) (dv)/sqrt(v) = 1/(4 pi epsilon_0) (2pi a Q_S)/r[sqrt(v)]_(theta=0)^(theta = pi)`

が得られる。`[sqrt(v)]_(theta = pi) = r + a, [sqrt(v)]_(theta = 0) = sqrt((r-a)^2) = abs(r - a)` であることに注意して計算する。 点 P が球の外にあるか、中にあるかで場合分けする。

点 P が球のそとにある場合、`r gt a` であるので`[sqrt(v)]_(theta=0)^(theta = pi) = r+a-(r-a) = 2a` であることから

`phi(r gt a) = 1/(4 pi epsilon_0) (4 pi a^2 Q_S) / r = 1/(4pi epsilon_0) Q / r`

となる。ここで、`Q = 4 pi a^2 Q_S` は球表面の全電荷である。この式は座標の中心に集中した点電荷による電位の式と同一である。 電場は電位の勾配のマイナスを取ればよい。

`bbE = - nabla phi = -Q/(4pi epsilon_0) nabla 1 / r = Q/(4pi epsilon_0 r^2) nabla r`

ここで動径方向、点頂角方向、方位角方向の単位ベクトルをそれぞれ `bb1_r, bb1_theta, bb1_varphi` とすれば、

`nabla = bb1_r del/(del r) + bb1_theta 1/r del/(del theta) + bb1_varphi 1/(r sin theta) del/(del varphi) `

である。

数式記述

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書誌情報

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