極私的関数解析：内積

内積の考え方

内積(interna produto, internal product)とは、（平面を含む）空間におけるベクトルの角度を一般化した（抽象化した）概念である。

内積の定義

`X = L^2(a, b)` が実数値関数からなっているとき、`u in X ` と `v in X` の内積は次の式で定義される。
`(u, v) = int_a^b u(x)v(x)dx`

`X = L^2(a, b)` が複素数値関数からなっているとき、`u in X ` と `v in X` の内積は次の式で定義される。
`(u, v) = int_a^b u(x)bar(v)(x)dx`
ただし、`bar(v)(x)` は ` v(x)` の共役複素数である。

内積の表現

数学流では `(u, v)` であるが、物理流では `<u | v >` と表現する。 そして `<u |` をブラベクトル、`| v >` をケットベクトルと言う。 ブラ(bra)とケット(ket)を使うこの記述をブラ-ケット記法(bra-ket notation)という。ブラケットは角カッコである。 量子力学のときにこの定義を聞いて、ヤン坊マー坊天気予報みたいだ、と思った。 ヤンマー株式会社のヤン坊マー坊　唄(www.yanmar.co.jp) を参照してほしい。

内積の公理

`X` を実線形空間とするとき、`( , )` が `X` の内積であるとは、 任意の `u, v in X` について実数 `(u, v)` が定まり、次の内積の公理が成り立つことである。

1. `AAu in X` に対して `(u, u) >= 0` かつ `(u, u) = 0 <=> 0`
2. `AAu, v in X` に対して `(u , v) = (v, u)`
3. `(u, v)` は `u, v` いずれについても線形である。すなわち、任意の `u, v, u_1, u_2, v_1, v_2 in X` に対し、下記が成り立つ
   • `(u_1 +- u_2, v) = (u_1, v) +- (u_2, v)` (複号同順)
   • `(u, v_1 +- v_2) = (u, v_1) +- (u, v_2)` (複号同順)
   • `(ku, v) = k(u, v), (u, kv) = k(u, v) (AAk in RR)`

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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