周期算・解説（久保田塾「受験算数の概要」ページへ）

【問題】
次の数列は、４または５の倍数を小さい順に並べたものです。これについて、後の問いに答えなさい。

　　　　　４、５、８、１０、１２、１５、１６、２０、２４、２５、２８、・・・・・

（１）７２は何番目の数ですか。

（２）１１１番目の数を求めなさい。

　

解き方・答え

（１） ４と５の最小公倍数が２０ですから、１周期は次の図のようになります。

後は、この繰り返しですから、「２０の倍数のところ」までが１周期です。
１周期の中には、８個の数字があります。
ですから、数列で考えると８個が１周期と言えます。
２周期目以降は、その数を２０で割った余りで何番目の数か見れば良いです。
７２の場合、
商が３で、余りがあって、それが１２ですから
４周期目の５番目の数と分かります。
と言うことで、８×３周期＋５で、２９番目の数と言えます。

答え　２９番目

（２）今度は逆に１１１÷８＝１３余り７
から考えます。
１周期の中の７番目は１６ですね。（上記の図参照）
だから、最後の半端のセットの１６と分かります。
また、商が１３ですから、
最後の半端の前に１３周期あると分かります。
２０×１３＝２６０
つまり、１３周期目の最後が２６０なので、
１４周期目の１６ということで、
２６０＋１６で＝２７６

答え　２７６