定理 1.2.1 `X` を一つの集合，`A sub X, ccA = {A_lambda; lambda in Lambda} ` を `X`
の部分集合族とするとき，和集合，共通集合および差に関して次の等式が成立する．
`A uu (nnn_(lambda in Lambda)A_lambda) = nnn_(lambda in Lambda)(A uu A_lambda)` (1.1)
`a in A uu ( nnn_(lambda in Lambda)A_lambda)` であるための必要十分条件は
`a in A` または `a in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである．
ここで `a in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`AAlambda in Lambda : a in A_lambda`」
だから「すべての `lambda` に対して `a in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A uu( nnn_lambda A_lambda)`
`hArr a in A` または `AAlambda in Lambda : a in A_lambda`
`hArr AA lambda in Lambda : a in A uu A_lambda`
`hArr a in nnn_(lambda in Lambda)(A uu A_lambda)`
`A nn (uuu_(lambda in Lambda)A_lambda) = uuu_(lambda in Lambda)(A nn A_lambda)` (1.2)
`a in A nn ( uuu_(lambda in Lambda)A_lambda)` であるための必要十分条件は
`a in A` かつ `a in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである．
ここで `a in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`EElambda in Lambda : a in A_lambda`」
だから「ある `lambda` に対して `a in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A nn( uuu_lambda A_lambda)`
`hArr a in A` かつ `EElambda in Lambda : a in A_lambda`
`hArr EE lambda in Lambda : a in A nn A_lambda`
`hArr a in uuu_(lambda in Lambda)(A nn A_lambda)`
`A- uuu_(lambda in Lambda)A_lambda = nnn_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)` (1.3)
`a in A - uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` であるための必要十分条件は
`a in A` かつ `a !in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである．
ここで `a !in uuu_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`EElambda in Lambda : a in A_lambda`」
の否定だから「すべての `lambda` に対して `a !in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A - uuu_lambda A_lambda`
`hArr a in A` かつ `AAlambda in Lambda : a !in A_lambda`
`hArr AA lambda in Lambda : a in A - A_lambda`
`hArr a in nnn_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)`
`A- nnn_(lambda in Lambda)A_lambda = uuu_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)` (1.4)
`a in A - nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` であるための必要十分条件は
`a in A` かつ `a !in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` なることである．
ここで `a !in nnn_(lambda in Lambda)A_lambda` は「`AAlambda in Lambda : a in A_lambda`」
の否定だから「ある `lambda` に対して `a !in A_lambda`」 と同値である．すなわち
`a in A - nnn_lambda A_lambda`
`hArr a in A` かつ `EElambda in Lambda : a !in A_lambda`
`hArr EE lambda in Lambda : a in A - A_lambda`
`hArr a in uuu_(lambda in Lambda)(A - A_lambda)`
