「はしがき」から引用する
（前略）本書では著者の経験から応用上必要と思われる関数の理論を概説し， 同時にそれがどのように具体的問題に応用され得るかの説明を試みた．
章末には演習問題がある。解答はない。
1 章はガンマ関数とベータ関数である。これら二つの関数は名前からして特殊関数のにおいがぷんぷんする。 たぶん、大学教養のおわりあたりの微積分から、専門課程入り口の微積分で、このガンマ関数とベータ関数に出くわす。 そして、本書 p.4 にある次の式
2 章はベッセル関数である。私が特殊関数として真っ先に思い浮かべるのがベッセル関数である。 物理数学で、円板上で何らかの偏微分方程式の解がベッセル方程式だということだけを覚えている。 さて、ベッセル関数の数値について pp.34-35 で論じられている。私が知っているのは本書の方法ではなく、 奥村晴彦による C 言語による標準アルゴリズム事典 にある方法である。
2 章ではほかに、エアリィとバセットの積分について著述がある。エアリー関数というのは名前を聞いたことがあるが、 バセット関数については初めて知った。アメリカ国立標準技術研究所の公式集 Basset’s Integral(dlms.nist.gov) にある。
3 章はルジャンドル関数である。ルジャンドル関数は特殊関数のなかでは多項式で陽的な表現ができるから、 ほかの特殊関数ほど厳めしくはないように思う。しかし、いろいろな公式があるのは他の特殊関数と同じで、 油断してはいけないと思う。
4 章はエルミート関数である。エルミート関数もルジャンドル関数と同じく、多項式で陽的な表現ができる。 ルジャンドル関数と異なるのは、直交性を示すための内積が `(-oo, oo)` の積分となる点である。無限大が出てくるのがこわい。
5 章はポテンシャル論への応用である。まずラプラス方程式とポアッソン方程式を提示し、 ルジャンドル陪関数やベッセル関数が使われていることを解説している。 目を引くのはマッカラ (MacCullagh) の公式が紹介されていることである。 Wikipedia ではマッカラーの公式という項目がある。知らなかった。
6 章は熱伝導問題への応用である。ここでは、ベッセル関数の応用例が描かれている。
7 章はマシュー関数とその応用である。マシュー関数は名前だけは知っているが、どんな関数かはよく知らない。 ところが、章末でマシュー関数の量子力学への応用が述べられ、その結果としてエネルギー・バンドについて触れられる。 私は固体物理学がよくわからないまま卒業したから、恥ずかしい限りだ。
章末の演習問題は程度が高く（もともと私は頭が弱いのでこの本はわからない）、解けそうな問題はわずかしかない。 4 章のエルミート関数の次の問題ならば解けるかもしれない。もちろん、解答の正確性は保証しない。
1. エルミート多項式に対する漸化式を用いて `H_5(z)` まで求め， それらの零点を計算せよ．
本書 p.102 (4.5) 式
および p.103 (4.7) 式
から、次のように求められる。
自分で「エルミートの多項式」というページを作っていたことを忘れていた。
p.155 上から５行目の (4.7) 式は、`H_(n+1) + 2nH_(n-1)(z) = 2zH_n(z)`
とあるが、正しくは《`H_(n+1)(z) + 2nH_(n-1)(z) = 2zH_n(z)`》だろう。
p.155 下から２行目、超趣方程式 (6.19)
とあるが、正しくは《超越方程式 (6.19) 》だろう。
p.184 下から３～２行目、ルジャンドル倍関数
とあるが、正しくは《ルジャンドル陪関数》だろう。
| 書名 | 特殊関数とその応用 |
| 著者 | 薮下 信 |
| 発行日 | 1985 年 8 月 30 日 第 1 版第 5 刷発行 |
| 発行元 | 森北出版 |
| 定価 | 2600 円（本体） |
| サイズ | A5版 215 ページ |
| ISBN | 4-627-00400-1 |
| その他 | 草加市立図書館にて借りて読む |
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