加須栄　篤：リーマン幾何学

概要

「はじめに」から引用する：

本書の目的は，微分幾何学の入門として， リーマン幾何の基礎的概念を解説することである．読者が， 線形代数と多変数の微積分の基本的な事柄と，さらに多様体論の初歩を理解していることを仮定する． ただし多様体に関しては，必要な事柄を本文の最初に説明する．

感想

私のように大学数学もわからない者には、2ページ目冒頭にハウスドルフ空間という単語が出てきて、 これ以上読み進めることが出来ないと断念した。2ページから先が読み進められないということは多様体がわからないということだ。 ということはこの本のすべてがわからないということになる。困った。

こういうときは索引を見る。日本人が出てくる名前がないかと眺めていると、リヒネロビッツ・小畠の定理 （Lichnérowicz-Obata theorem）があることがわかった。小畠とは小畠守生のことだろう。 ほかにも、ホッジ・小平の定理がある。

本書は、練習問題が章末ではなく本文中に述べられている。解答は付されていない。例外は p.203 にある次の練習問題 4.4 である。

練習問題 4.4 ユークリッド空間 `RR^3` の中の次の曲面 `M` のガウス曲率 `K` を求めよ．
(1) `M= {(x, y, x^3 - 3xy^2) | (x, y) in RR^2}`
(2) `M= {(x, y, z) {:| x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1} quad (a, b, c gt 0)`
(3) `M= {(x, y, z) {:| x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1} quad (a, b, c gt 0)`

答は次の通りである。ただし、本書ではインラインモードになっていた数式を、 引き写すときにディスプレイモードにした。

答：
(1) `K = -36(x^2+y^2)/(1+9x^4+18x^2y^2+9y^4)^2`
（このように，ガウス曲率は `z` 軸を中心としたすべての回転で不変であるが， 曲面自身は 120 度の回転で不変である．なお，平均曲率ベクトルは
`(-54x^5+108x^3y^2 + 162xy^4)/(1+9x^4 + 18x^2y^2 + 9y^4)^(3/2) nu`
となる．ただし，
`nu = 1/sqrt(1 + 9x^4 + 18x^2y^2 + 9y^4) (-3x^2 + 3y^2, 6xy, 1)` ．）
(2) `K = h^4 / (a^2b^2c^2)`．
(3) `K = -h^4 / (a^2b^2c^2)`
ここで (2)，(3) において
`h = 1/sqrt(x^2/a^4 + y^2/b^4 + z^2/c^4)`
とおいた．

本書に基づいてガウス曲率 `K` を求めるにはどうれすばいいか。p.202 の記述によれば、 実際，Gauss はこれによって曲率を定義して，これが曲面の主曲率の積であることを示し，(後略) とあるから、曲面の主曲率を求めればいいことがわかる。 曲面の主曲率については p.200 に記載があり、シェイプ作用素 `S_nu` の実固有値のことだとわかる。 ではシェイプ作用素とは何か、となると日が暮れる。仕方がないので、ほかの本で学んだ方法でガウス曲率を計算してみる。 曲面の方程式を、パラメータ `u, v` を使って、`p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))` と記述する。 ガウス曲率 `K` は下記の諸量：
`p_u = (del p)/(del u), p_v = (del p)/(del v), p_(u u) = (del^2 p)/(del u^2), p_(v v) = (del^2 p)/(del v^2), p_(uv) = (del)/(del v) (del p)/(del u)`
`E(u,v) = abs(p_u)^2, F(u, v) = p_u * p_v, G(u, v)=abs(p_v)^2, n = (p_u times p_v)/abs(p_u times p_v), `
`L(u,v) = p_(u u) * n, M(u, v) = p_(uv) * n, N(u, v) = p_(v v) * n` を使うと、
`K = (LN - M^2)/(EG-F^2)`
で与えられるというものだ。この (1) では、`u = x, v = y, p(u, v) = (x, y, x^3-3xy^2) ` なので、 計算しやすい。まず、`(del p)/(del u) = (del p)/(del x) と (del p)/(del v) = (del p)/(del y)` を計算し、`E, F, G` を求める。以下は `u = x, v = y` として計算している。

`p_x = (del p)/(del x) = (1, 0, 3x^2 - 3y^2), p_y = (del p)/(del y) = (0, 1, -6xy)`
`E = p_x^2 = 1^2 + 0^2 + (3x^2 - 3y^2)^2 = 9x^4 - 18x^2y^2 + 9y^4 + 1`
`F = p_x * p_y = 1 * 0 + 0 * 1 + (3x^2 - 3y^2) * (-6xy) = -18xy(x^2 - y^2)`
`G = p_y^2 = 0^2 + 1^2 + (-6xy)^2 = 36x^2y^2 + 1`

ここで `EG-F^2` を計算する。`EG` の項は (x,y)の8次式 + (x,y)の4次式 + 定数項となる。 EG のうち(x,y) の8次式は、`9*36 x^6y^2 + (-18 * 36)x^4y^4 + 9*36 x^2y^6` であるが、 これらはすべて `-F^2 = - 18^2x^2y^2(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)` と打ち消しあって 0 になる。 （これにはきっと奥深い理由があるのだろうが、私にはわからない）。よって、`EG-F^2` は `EG` の 4 次式 + 定数項だけ残り、次の式となる。

`EG-F^2 = 9x^4 + 18x^2y^2 + 9y^4 + 1`

次に `n, L, M, N` を計算する。`e_x, e_y, e_z` はそれぞれ x 軸、y 軸、z 軸の単位ベクトルである。
` p_x times p_y = |(e_x, e_y, e_z),(1, 0, 3x^2 - 3y^2),(0, 1, -6xy)| = (-3x^2 + 3y^2, 6xy, 1), n = (p_x times p_y)/abs(p_x times p_y) = 1/sqrt(9x^4+18x^2y^2 + 9y^4 + 1) (-3x^2 + 3y^2, 6xy, 1)`
おもしろいことに `n` の分母の根号の中の式と `EG-F^2` は等しい。とりあえず、 この分母を `Delta` とおく。`Delta^2 = EG-F^2` でもある。
`(del^2 p)/(del x^2) = (0, 0, 6x), (del^2 p)/(del x del y) = (0, 0, -6y), (del^2 p)/(del y^2) = (0, 0, -6x)`
`L = 1/Delta ((0, 0, 6x) * (-3x^2+3y^2, 6xy, 1)) = 1/Delta 6x`
`M = 1/Delta ((0, 0, -6y) * (-3x^2+3y^2, 6xy, 1)) = -1/Delta 6y`
`N = 1/Delta ((0, 0, -6x) * (-3x^2+3y^2, 6xy, 1)) = -1/Delta 6x`
`LN-M^2` を計算する。
`LN-M^2 = -1/Delta 36 x^2 - 1/Delta 36 y^2 = -36/Delta (x^2 + y^2)`
`K = (LN - M^2)/(EG-F^2) = (-36(x^2+y^2))/(9x^4+18x^2y^2 + 9y^4 + 1)^2`

これは本書の解答と合っている。よかった。

(2)を解いてみる。パラメータ `theta, phi` を使うと、`p` は次のように書ける：
`{ (x = a sin theta cos phi),(y = b sin theta sin phi),(z = c cos theta):}`
しかし、WEB のほかのページを見てみると、ガウス曲率を出すときの楕円体では次のようにおいている。
`{ (x = a cos u cos v),(y = b cos u sin v),(z = c sin u):}`
ということで、こちらで計算することにした。ただ、計算が非常に多くなることは覚悟しておかないといけない。
`p_u = (-a sin u cos v, -b sin u sin v, c cos u)`
`p_v = (-a cos u sin v, b cos u cos v, 0)`
`p_(u u)= (-a cos u cos v, -b cos u sin v, -c sin u)`
`p_(u v)= ( a sin u sin v, -b sin u cos v, 0)`
`p_(v v)= (-a cos u cos v, -b cos u sin v, 0)`
`p_u times p_v = (-bc cos^2u cosv, ac cos^2u sinv, -ab sinu cosu)`
`abs(p_u times p_v)^2 = cos^2u (b^2c^2 cos^2u cos^2v + a^2c^2 cos^2u sin^2v + a^2b^2 sin^2u)`
`n = 1/sqrt(b^2c^2 cos^2u cos^2v + a^2c^2 cos^2u sin^2v + a^2b^2 sin^2u) (-bc cosu cosv, -ac cosu sinv, -ab sinu)`
ここで、次のように `Delta` を定義する：
`Delta^2 = b^2c^2 cos^2u cos^2v + a^2c^2 cos^2u sin^2v + a^2b^2 sin^2u`
`x, y, z` を `u, v` で表わした式を利用して、上の `u, v` を消去する。
`Delta^2 = b^2c^2 (x/a)^2 + a^2c^2 (y/b)^2 + a^2b^2 (z/c)^2 = a^2b^2c^2(x^2/a^4 + y^2/b^4 + z^2/c^4)`
いよいよ `E, F, G, L, M, N, K` を計算する：
`E = p_u^2 = a^2 sin^2 u cos^2 v + b^2 sin^2 u sin^2 v + c^2 cos^2 u`
`F = p_u * p_v = (a^2 -b^2) sin u cos u sin v cos v`
`G = p_v^2 = a^2 cos^2 u sin^2 v + b^2 cos^2 u cos^2 v = cos^2u(a^2 sin^2v + b^2cos^2 v)`
`L = 1/Delta ((-a cosu cosv)*(-bc cosu cosv) + (-b cosu sinv)*(-ac cosu sinv) + (-c sinu)*(-ab sinu)) = (abc)/Delta (cos^2u cos^2v + cos^2u sin^2v + sin^2u) = (abc)/Delta`
`M = 1/Delta ((a sinu sinv)*(-bc cosu cosv) + (-b sinu cosv)*(-ac cosu sinv)) = 0`
`N = 1/Delta ((-a cosu cosv)*(-bc cosu cosv) + (-b cosu sinv)*(-ac cosu sinv)) = (abc)/Delta cos^2u (cos^2v + sin^2v) = (abc) / Delta cos^2u` `EG-F^2 = cos^2 u (a^2 sin^2 u cos^2 v + b^2 sin^2 u sin^2 v + c^2 cos^2 u)(a^2 sin^2 v + b^2 cos^2 v) - ((a^2 -b^2) sin u cos u sin v cos v)^2` `(EG-F^2)/(cos^2u) = (a^2 sin^2 u cos^2 v + b^2 sin^2 u sin^2 v + c^2 cos^2 u)(a^2 sin^2 v + b^2 cos^2 v) - (a^2 -b^2)^2 sin^2 u sin^2 v cos^2 v`
ここで右辺を見る。`a^4` の項と `b^4` の項は消える。 したがって、`a^2b^2` の項、`b^2c^2` の項、`c^2a^2` の項を計算する。 `(EG-F^2)/(cos^2u) = (sin^2u cos^4v + sin^2u sin^4v + 2 sin^2u sin^2v cos^2v)a^2b^2 + (cos^2u cos^2v )b^2c^2 + (cos^2u sin^2v )c^2a^2`
ここで、`sin^4v + sin^2vcos^2v + cos^4v = (sin^2v + cos^2v)^2 = 1` を使うと
`(EG-F^2)/(cos^2u) = (sin^2u)a^2b^2 + (cos^2u cos^2v )b^2c^2 + (cos^2u sin^2v )c^2a^2 = Delta^2`
`EG-F^2 = Delta^2 cos^2u`
ここで山を越えたような気がする。
`LN-M^2 = (abc)/Delta * (abc cos^2u)/Delta = ((abc)^2 cos^2u)/Delta^2`
`K = (LN-M^2)/(EG-F^2) = ((abc)^2 cos^2u)/Delta^2 / (Delta^2 cos^2u) = (abc)^2/Delta^4 = 1/(a^2b^2c^2 (x^2//a^4 + y^2//b^4 + z^2//c^4)^2) `
この値は、本書で `h` を用いた記述と同じであることがわかる。

(3) については
`p(u,v) = (a cosh u cos v, b cosh u sin v, c sinh v)`
とおいて同じように計算をすればできると思う（`cosh^2 u - sinh^2 u = 1` などを使う）が、 大変な計算になるだろう。老後の楽しみにとっておきたい（既に老後だが）。

誤植

p.70 2.4.1 ポップ写像 や p.74 2.4.2 ポップ写像とリーマン計量　など、 「ホップ」が「ポップ」になっている。

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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