安藤四郎：これだけは知っておこう線形代数

概要

「はしがき」から引用する。

（前略）線形代数の文献はおびただしく，和文の単行本だけでも百数十あると思う．それにもかかわらずあえてこの本を書いたのは，普通のテキストと多少違った，くだいた解説をしたかったからである．既存の本を参考にした部分もあるが，本の性格から，これらを含めて文献はすべて省略した．（後略）

例題をやってみた。ただし、下記の記述で角カッコ [] で表示されている結果は math.js を使っている。

p.30 の例 1 である。`A = ((0,1),(1,0)), B= ((1,0),(0,-1))` のとき、`AB != BA` を確かめる問題である。

`AB =` , `BA` =

確かに異なっている。

p.33 の例 3 (i) である。

`((1,4,1),(4,2,1))((3),(5),(6))` =

確かにあっている。

p.107 では行列のランク（階数）の概念が解説されている。行列のランクはどうやって確かめるのだろう。 Wikipedia の「行列の階数」(ja.wikipedia.org)というページを見てみると、行列の基本変形によって階数を求める方法を説明したあとで、

浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。

と結んでいる。math.js は私が調べた限り SVD の計算はできないから、QR 分解を使うしかないのだろう。

p.107 に出ている例をみてみよう。` B = ((1,1,2,1),(2,3,1,4),(2,5,-5,8))` のランクを調べるために QR 分解をしてみた。。

Q =

R =

横長のベクトルの QR 分解は、math.js でできるのだろうか。

p.159 の固有値の例はどうだろうか。`P = ((1,0),(1, 1/2))` の固有値と固有ベクトルを求めよう。math.js で計算したところ、

固有値と固有ベクトルの組は、となる。

特に、固有値は、でよい。

本書の記述では次のようになっている。

`P` の固有値は `1` と `1/2` で，これらに対する固有ベクトルとしてそれぞれ `((1),(2)), ((0),(1))` をとれる．

固有ベクトルは定数倍しても同じであるから数値上は正しいが、やはりすっきりした値で示されるのが気持ちいい。これはやはり手計算でないといけないということだな。

数式は MathJax で記述している。