本書裏から引用する。
いまだからできる、マイペースで学べる
たどり着けなかった知の頂に再挑戦。
本書は第０章から第１５章の全１６章で構成されている。第０章があるのがさすがである。
本書はプロローグから始まり、第１部、第２部、第３部を経てフィナーレで締めくくられている。 プロローグは第０章だけからなる。第０章は「数学的帰納法について」と題されている。
pp.16-17 では、通常の数学的帰納法より強い仮定を使って次の命題を証明している。
例題 4 `a, b` は実数で，`a+b` および `ab` が共に有理数であるとき，すべての自然数 `n` に対し， `a^n+b^n` は有理数であることを数学的帰納法で証明せよ。
おおまかな方針をいえば、`a+b` および `a^2+b^2` が有理数であることをまず確認したのち、 `a^(k-1)+b^(k-1)` および `a^k+b^k` がともに有理数であれば `a^(k+1) + b^(k+1)` も有理数であることを証明する。 ここで、`a^(k-1)+b^(k-1)` と `a^k+b^k` の両方がともに有理数であることを仮定すること、つまり前２つの仮定を使うことが「強い」という意味である。 この伝でいけば、次のように問題を拡張すれば、より強い仮定が必要になる。
`a, b, c` は実数で，`a+b+c` 、`ab+bc+ca`、 および `abc` が共に有理数であるとき，すべての自然数 `n` に対し， `a^n+b^n+c^n` は有理数であることを数学的帰納法で証明せよ。
これを証明するのは、次のようになるだろうか。
(I) まず、`n = 1` のとき、`a^1+b^1+c^1 = a + b + c` は当初の条件から有理数である。
また、`n=2` のとき、`a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc+ ca)` であり、右辺は有理数であるので左辺も有理数である。
さらに、`n=3` のとき、`a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) + 3abc` であり、右辺は有理数であるので左辺も有理数である。
(II) `n = k, n = k + 1` および `n = k+2` のとき成り立つと仮定する。
すなわち `a^k+b^k+c^k`、`a^(k+1)+b^(k+1) + c^(k+1)` および `a^(k+2) + b^(k+2) + c^(k+2)` がすべて有理数であると仮定する。
`n = k+3` のとき、
`a^(k+3) +b^(k+3)+c^(k+3) = (a^(k+2) + b^(k+2) + c^(k+2))(a+b+c) - {a^(k+2)(b + c)+ b^(k+2)(c + a)+ c^(k+2)(a + b)}`
わたしはここでくじけてしまった。ここから先は、次のページの通り計算すればできる。
https://mathematicsgarden.com/3taishosiki/
数式は MathJax で記述している。
| 書名 | 数学ロングトレイル「大学への数学」に挑戦 |
| 著者 | 山下光雄 |
| 発行日 | 2015 年 6 月 20 日（第１刷） |
| 発行元 | 講談社 |
| 定価 | 1180 円（本体） |
| ＮＤＣ | 376.8 |
| サイズ | 18cm 350ページ |
| ISBN | 978-4-06-257913-1 |
| その他 | 講談社ブルーバックス、草加市立図書館で借りて読む |
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