V.グーテンマッヘル, N.B.ヴァシーリエフ : 直線と曲線ハンディブック

作成日 : 2022-04-13
最終更新日 :

概要

「まえがき」から引用する :

読者は，本書に掲載された図を見るだけでなく， 自分なりに図を描いてみなければいけません．

問題が解けるか

「まえがき」によれば、多くの問題にはヒントや解答も付録で与えられています．とある。 「多くの問題」がどの程度か気になる。第7章では問題が 7.1 から 7.24 まで 24 あるが、 そのなかで本文で解答が与えられているのが 7.1, 7.3, 7.4, 7.7, 7.15 である。 付録で解答まはたヒントがあるのは 7.2, 7.9, 7.13, 7.14, 7.18, 7.19, 7.21, 7.23 である。 これを多くというかどうかは脇においておこう。

問題7.5 は次の通り。

問題 7.5 点 `A` にカスプをもつカージオイドが与えられたとする． 点 `A` を通るカージオイドの任意の弦 `M_1M_2` の長さが `4r` であり， さらに弦の中点がカージオイドを作り出す（半径 `r` の）定円上にあることを証明せよ．

曲線のカタログにしたがって、カージオイドの図を書いてみた。 カージオイドを作るときの 2 つの円の半径をともに `r` とすると、 パラメータ表示は次の通りである。
`{(x = 2r (1 + cos theta) cos theta), (y = 2r (1 + cos theta) sin theta) :}`

点 `A` を通る直線を `y = mx` とする。直線とカージオイドの交点 `M_1, M_2` とする。ただし、`M_1` の `x` 座標は正、`M_2` の `x` 座標は負とする。 `y = mx` の式に 媒介変数 `theta` で表される `x, y` を代入して、

`2r(1+costheta)sintheta = 2(1+costheta)costheta`
`r gt 0` である。 `costheta!=-1` かつ `sintheta!=0` のとき、 両辺を `sintheta(1-costheta)` で割ると、
`tan theta = m`
が得られる。この関係式を満たす `theta gt 0` を固定して、`sin theta = s, cos theta = c` とおくと、
`M_1 = (2rc(1+c), 2rs(1+c))`
`M_2 = (-2rc(1-c), -2rs(1-c))`
である。
以上を確認した上で題意の前半を示す。`M_1` と `M_2` の距離の2乗を計算すると、
` (2rc(1+c)+2rc(1-c))^2 + (2rs(1+c)+2rs(1-c))^2 = 16r^2`
となる。これは `theta` によらない。 なお、点 `A` を通る直線が `y=mx` で表せないとき、すなわちこの直線が `x=0` であるときは、 `x= 0` より `cos theta = 0` または `cos theta = -1`。`cos theta = 0` のとき `sin theta = +-1`。よって `y=+-2r` 。これは`M_1` と `M_2` の距離が `4r` であることを意味する。 最後に、`sintheta = 0` のとき `cos theta = +-1` であり `x` 座標はそれぞれ `4r` と `0` 。これは、 これは`M_1` と `M_2` の距離が `4r` であることを意味する。以上で、題意の前半が示せた。
次に題意の後半を示す。`M_1` と `M_2` の中点の座標を `P(x, y)`とすると `x = 2rc^2, y = 2rcs` である。 ここで、`(x - r)^2 + y^2` を `s^2+c^2=1` に注意して計算する。 `(x - r)^2 + y^2 = (2rc^2-r)^2 + (2rcs)^2 = r^2(2c^2-1)^2+4r^2c^2s^2 = r^2(4c^4-4c^2+1 + 4s^2c^2) = r^2(4c^2(c^2+s^2)-4c^2+1) = r^2` これは 点`(x, y)` が、中心 `(r, 0)` 、半径 `r` の円の上を動くことを表す。よって、題意の後半が示せた。 （証明終わり）

最後ははしょっている。つまり、`r, c` の動きうる範囲を把握したうえで、円のすべてを通ることを言わないといけないが、 まあいいだろう。

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

書誌情報

書名直線と曲線ハンディブック
著者V.グーテンマッヘル, N.B.ヴァシーリエフ
発行日2006 年 7 月 15 日 初版 1刷
発行元共立出版
定価2300 円（本体）
サイズA5 版 188 ページ
ISBN4-320-01811-7
その他草加市立図書館にて借りて読む

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