「はじめに」から引用する：
本講の第1分冊では，（中略）実数体に付随する体（実数体自身，複素数体および４元数体） 上のベクトル空間に定義される正値な内積（形式）を考える．
2次形式というのは、私の浅はかな理解では、２次曲面の分類で必要な式、という理解でしかなかった。 ２巻本になるぐらいの理論であることは知らなかった。
本書は、章の途中に「問」が、また章の末尾に「問題」がある。ほかの岩波基礎数学では、 本文の途中にも、また章の末尾にも問題がなく、 すべての章の問題が一つの分冊のみに出ているもの（小平邦彦 解析入門Ⅰ～Ⅳ）、 本文の途中だけに出ているもの（彌永昌吉・彌永健一 集合と位相Ⅰ～Ⅱ）があるが、 このシリーズは本文の途中にも、また章の末尾にも「問」や「問題」がある。
第1章末尾の問題を解いてみよう。
１ 次のベクトルで張られる正値計量空間 `RR^3` の部分空間の正規直交基底を求めよ．
（イ）`{::}^t(1,1,1)` および `{::}^t(1, 0, 1)`
（ロ）`{::}^t(1,1,1)`，`{::}(0,1,1)` および `{::}^t(0, 0, 1)`
p.7 の (1.8) 式および pp.8-9 の例1.3 にならい、正規直交基底を作る。
まず（イ）について計算する。`bbf_1 = {::}^t(1,1,1), bbf_2 = {::}^t(1, 0, 1)` とおく。
`bbu_1 = norm(bbf_1)^-1 bbf_1 = {::}^t(1//sqrt(3), 1//sqrt(3), 1//sqrt(3))`
の長さは 1 である。次に、`bbv_2 = bbf_2 - (bbf_2, bbu_1)bbu_1
= bbf_2 - (bbf_2, bbf_1)norm(bbf_1)^-2 bbf_1` によって `bbv_2` を計算すると、
`bbv_2 = {::}^t(1, 0, 1) - 2/3 {::}^t(1, 1, 1) = (1//3, -2//3, 1//3)` であるから、
`bbu_2 = norm(bbv_2)^-1bbv_2 = {::}^t(1//sqrt(6),-2//sqrt(6),1//sqrt(6))`。
この部分空間の正規直交基底は `{bbu_1, bbu_2}` である。
次に（ロ）について計算する。
`bbf_1 = {::}^t(1,1,1), bbf_2 = {::}^t(0, 1, 1), bbf_3 = {::}^t(0, 0, 1)` とおく。
`bbu_1 = norm(bbf_1)^-1 bbf_1 = {::}^t(1//sqrt(3), 1//sqrt(3), 1//sqrt(3))`
の長さは 1 である。次に、`bbv_2 = bbf_2 - (bbf_2, bbu_1)bbu_1
= bbf_2 - (bbf_2, bbf_1)norm(bbf_1)^-2 bbf_1` によって `bbv_2` を計算すると、
`bbv_2 = {::}^t(0, 1, 1) - 2/3 {::}^t(1, 1, 1) = (-2//3, 1//3, 1//3)` であるから、
`bbu_2 = norm(bbv_2)^-1bbv_2 = {::}^t(-2//sqrt(6),1//sqrt(6),1//sqrt(6))`。
次に `bbv_3 = bbf_3 - (bbf_3, bbu_1)bbu_1 - (bbf_3, bbu_2)bbu_2` を計算すると、
`bbv_3 = {::}^t(0, 0, 1) - 1 / sqrt(3) {::}^t(1//sqrt(3), 1//sqrt(3), 1//sqrt(3))
- 1/sqrt(6) {::}^t(-2//sqrt(6),1//sqrt(6),1//sqrt(6)) = {::}^t(0, -1//2, 1//2)` であり、
`bbu_3 = {::}^t(0, -1//sqrt(2), 1//sqrt(2))` とおくと、
この部分空間の正規直交基底は `{bbu_1, bbu_2, bbu_3}` である。
以上の正規直交基底を計算する方法を本書では Schmidt の直交化法と呼んでいる。 この方法は Gram-Schmidt （グラム・シュミット）の直交化法とも呼ばれる。 この直交化法は理論的にも、また実用上も重要である。 特に、矩形行列の QR 分解を得るときには、この Schmidt の方法が使われる。 ただし、数値計算で誤差を少なくするために、本来の（本書の）グラム・シュミット法ではなく、 修正グラム・シュミット法を使う。さらに言えば、QR 分解では、修正グラム・シュミット法よりさらに誤差が少ない、 ハウスホルダー変換が使われる。
同じページにある問題4 と問題 5 を見てみる。
４ 交代行列 `T=[(0, tau),(-tau,0)]` または `T=[(0, nu, -mu),(-nu,0,lambda),(mu,-lambda,0)]` に対して， 行列 `P = (E - T)(E + T)^-1` を作れ．
５ `T` を問題４で与えた交代行列とするとき，行列 `exp T` を計算せよ．
4 は計算すればいいので、5をやってみる。まず２行2列の `T` を考える。
`T =[(0, tau),(-tau,0)]`
`T^2 =[(-tau^2, 0),(0,-tau^2)]`
`T^3 =[(0, -tau^3),(tau^3,0)]`
`T^4 =[(tau^4, 0),(0,tau^4)]`
`exp T = E + T + 1/(2!) T^2 + 1/(3!) T^3 + 1/(4!) T^4 + cdots
= [(1 - 1/(2!)tau^2 + 1/(4!)tau^4 - cdots , tau - 1/(3!)tau^3 + cdots),
(-tau + 1/(3!)tau^3 - cdots,1 - 1/(2!)tau^2 + 1/(4!)tau^4 - cdots)]
= [(cos tau, sin tau),(-sin tau, cos tau)]`
この解法は 4 の計算を使っていないので不安はある。 しかし、次の第２章「ユニタリ空間と Hermite 形式」の p.86 例 2.18 にあるそのままの解法なので、これでいいのだろう。
次に3行3列の `T` について求めてみる。このままでは何もできないので、本書 p.87 を真似してみる。 真似した結果はすぐあとで述べる。
第1章の問題を解くために第2章を先走ってみてしまった。下記は p.87 の内容とほぼ同じ内容であるが、 文字などは前章の問題４の３次の交代行列で使われたものである。
まず `T` について `(alpha, beta, gamma) != (0, 0, 0)` と仮定する。 `alpha = sqrt(lambda^2 + mu^2 + nu^2)` とおくと、行列 `T` の固有値は `0, +- alpha i` である。 行列 `T` のスペクトル分解は
以上は本書の p.87 の真似である。ただし、少し補わないといけないところがある。なぜ、 行列 `T` の固有値が `0, +-alpha i` とわかったのか。これに関して次に述べる。
p.87 を引き写そう。
応用として，3次の交代行列の指数関数を求めよう．
`A=[(0,alpha,gamma),(-alpha,0,beta),(-gamma,-beta,0)]`と置き，`(alpha, beta, gamma) != (0, 0, 0)` と仮定する． `nu = sqrt(alpha^2+beta^2+gamma^2)` と置くと，既に述べたように， 行列 `A` の固有値は `0, +- nu i` である．
ここで、既に述べたように
というのはどこのことだろう。
飛ばし読みしたことが分かってしまう。少し遡る必要があった
（既に述べたのだから当り前だ）。pp.76-77 に書かれている：
次に3次の交代行列
`A=[(0,alpha,gamma),(-alpha,0,beta),(-gamma,-beta,0) ]`の標準形を求めてみよう． 固有多項式は `det(lambda E - a)= lambda(lambda^2+alpha^2+beta^2+gamma^2)` であるから， 固有値は `0` と `+-nu i` である．ここで `nu = sqrt(alpha^2+beta^2+gamma^2)` と置いた．
最近、コンピュータグラフィクスの関連もあって、4元数が脚光を浴びている。 本書で挙げられた内容がコンピュータサイエンスに必要だとは思わないが、研究すれば面白いのだろう。 p.116 にある章末問題を一つだけ解いてみよう。
１ 4元数 `xi` に関して，`xi^2` が負の実数ならば，`xi` は純4元数であることを示せ．
`{1, i, j, k}` を4元数体 `ℍ` の基底とする。
`xi = a + b i + c j + d k (a, b, c, d in RR) ` とおいて `xi^2` を計算する。
`ij=k, jk=i, ki=j` などに注意する。
`xi^2 = (a + b i + c j + d k)(a + b i + c j + d k)`
`= (a^2 - b^2 - c^2 - d^2) + 2abi + 2acj + 2adk`
この値が負の実数になることから、`b = c = d = 0` または `a = 0`。
前者の場合は`xi^2 = a^2` が正の実数となることから不適。
後者の場合は `xi^2 = -b^2 - c^2 - d^2` となり条件に適する。
`a = 0` は `xi` が準4元数であることを意味するので、
題意が言えた。
このページの数式は MathJax で記述している。
| 書 名 | 2次形式Ⅰ |
| 著 者 | 田坂 隆士 |
| 発行日 | 1976 年 8 月 2 日 |
| 発行元 | 岩波書店 |
| 定 価 | |
| サイズ | A5版 116 ページ |
| ISBN | |
| その他 | 岩波講座 基礎数学 草加市立図書館にて借りて読む |
