方程式の解の関係性を表すガロア群について、 具体的な方程式のガロア群を計算することで、 複雑に見えていた解の構造が浮かび上がる。
１の11 乗根を求める式を追うことができなかった。仕方がないので、私なりに補って考えてみた。 １の11乗根を `alpha` とする。まず、p.151 から次の式を用意する。
`f_1 = alpha + alpha^10`
`f_2 = alpha^2 + alpha^9`
`f_3 = alpha^3 + alpha^8`
`f_4 = alpha^4 + alpha^7`
`f_5 = alpha^5 + alpha^6`
そして、本書 p.157 でラグランジュの分解式が登場する :
1 の原始５乗根を `zeta` とする。
`V_1 = f_1 + zeta f_2 + zeta^2 f_3 + zeta^3f_4 + zeta^4f_5`
`V_2 = f_1 + zeta f_3 + zeta^2 f_2 + zeta^3f_5 + zeta^4f_4 `
`V_3 = f_1 + zeta f_4 + zeta^2 f_5 + zeta^3f_2 + zeta^4f_3`
`V_4 = f_1 + zeta f_5 + zeta^2 f_4 + zeta^3f_3 + zeta^4f_2`
以下は本書 p.161 からの記載である。
次にそれぞれ（評者注 : `V_1, V_2, V_3, V_4` のこと）の５乗根を求めるわけだが、 その前に確かめておくことがある。
`V_1V_2V_3V_4 = 121 = 11^2`
だからそれぞれの5乗根のうち、積が 121 になるものをそれぞれ `V_1, V_2, V_3, V_4` とする（５通りある）。
そして、
`f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + V_1 + V_2 + V_3 + V_4`
`=f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5`
` + f_1 + zeta f_2 + zeta^3 f_3 + zeta^2f_4 + zeta^4f_5`
` + f_1 + zeta^2 f_2 + zetaf_3 + zeta^4f_4 + zeta^3f_5`
` + f_1 + zeta^3 f_2 + zeta^4f_3 + zeta f_4 + zeta^2 f_5`
` + f_1 + zeta^4 f_2 + zeta^2f_2 + zeta^3f_3 + zeta f_5`
`= 5f_1 + (zeta^4 + zeta^3 + zeta^2 + zeta + 1)(f_2 + f_3 + f_4 + f_5)`
`=5f_1`
という関係に注意すれば、
`f_1, f_2, f_3, f_4, f_5 = (-1 + V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5) / 5`
`=1/5{-1+root(5)(-11/4 (89+25sqrt(5)+ 5sqrt(410-178sqrt(5))i))`
`+root(5)(-11/4 (89-25sqrt(5)+ 5sqrt(410+178sqrt(5))i))`
`+root(5)(-11/4 (89-25sqrt(5)- 5sqrt(410+178sqrt(5))i))`
`+root(5)(-11/4 (89+25sqrt(5)- 5sqrt(410+178sqrt(5))i))}`
これらはそれぞれ `2cos {:(2 pi)/11:}, 2cos {:(4 pi)/11:}, 2cos {:(6 pi)/11:}, 2cos {:(8 pi)/11:}, 2cos {:(10 pi)/11:}` を表している。
この最終行の「それぞれ」とは、何に対するそれぞれなのだろうか。
これは、積が 121 になる、`V_1, V_2, V_3, V_4` の組み合わせが全部で五通りあり、
その組み合わせに対してそれぞれ、といっている。では、どの組み合わせが `2cos {:(2 pi)/11:}`
となるのか。それに関しては何も答えてはいない。なぜこんなことになるのかというと、
複素数の根については任意性があるからだ。というのも、複素数 `c` にたいして、
方程式 `x^5 = c` の解の１つは `x = root(5)(c)` であるが、同時に、`zetax, zeta x^2, zeta x^3, zeta x^4`
のどれもがやはり `x^5 = c` の解である。ここで、
`zeta = (-1+sqrt(5))/4 + sqrt(10+2sqrt(5))/4 i`
である。だから、`V_1, V_2, V_3, V_4` で積が 121 になる５通りの組み合わせを求めようとしても、
実部と虚部を数値的に求めることをしないと、先に進めないのだろう。
数値的に求められない場合、 `x^5 = c` の解で、偏角が0を超え最小のもの、
などとして解を特定ができるのかどうか、私にはわからない。
本書で、１の７乗根を求めるときには３乗根を特定する必要があった。このときは、第1象限にあるものとか、 第4象限にあるものとか、という指定によって特定に成功している。１の11乗根のときは、 このようなうまい特定は無理なのだろうか。
なお、 高次方程式 zn-1=0 の代数的解（概要） (www.asahi-net.or.jp) の PHASE 7 も参照。
もとにもどって、`f_1, f_2, f_3, f_4, f_5`を解とする方程式を作るのに、次の基本対称式を求めている。
これを計算するのは一番上の１次式ならまだしも（これは -1 である）、２次式以上になると頭がくらくらする。 そこで、２次式以上を計算しやすくするため `f_i*f_j` の一覧表を作った。
| `f_i * f_j` | `f_1` | `f_2` | `f_3` | `f_4` | `f_5` |
|---|---|---|---|---|---|
| `f_1 = alpha + alpha^10` | `2 + f_2` | `f_1+f_3` | `f_2+f_4` | `f_3+f_5` | `f_4+f_5` |
| `f_2 = alpha^2 + alpha^9` | `2 + f_4` | `f_1+f_5` | `f_2+f_5` | `f_3+f_4` | |
| `f_3 = alpha^3 + alpha^8` | `2 + f_5` | `f_1+f_4` | `f_2+f_3` | ||
| `f_4 = alpha^4 + alpha^7` | `2 + f_3` | `f_1+f_2` | |||
| `f_5 = alpha^5 + alpha^6` | `2 + f_1` |
これを使えば、基本対称式の二次式はすぐに答が出る。 三次式以上は、上記の式を使って展開すればいい。ちなみに、五次式だけ、やってみる。
`f_1*f_2*f_3*f_4*f_5 = (f_1*f_2)*(f_3*f_4)*f_5`
`=(f_1+f_3)*(f_1+f_4)*f_5`
`=(f_1*f_1 + f_1*f_3 + f_1*f_4 + f_3*f_4)*f_5`
`=(2 + f_2 + f_2 + f_4 + f_3 + f_5 + f_1 + f_4)*f_5`
`=2f_5 + f_1*f_5 + 2f_2 * f_5 + f_3 * f_5 + 2f_4*f_5 + f_5*f_5`
`=2f_5 + f_4 + f_5 + 2f_3+ 2f_4 + f_2+f_3 + 2f_1 + 2f_2 + 2 + f_1`
`=3f_1 + 3f_2 + 3f_3 + 3f_4 + 3f_5 + 2`
`=-3+2`
` = -1`
これは本書と合致している。一安心。
p.160 `V_2^5+V_3^5 = -275(z^2+z^3) - 627 ` とあるが、 正しくは`V_2^5+V_3^5 = -275(zeta^2+zeta^3) - 627 ` だろう。
数式は MathJax で記述している。
| 書名 | 方程式のガロア群 |
| 著者 | 金 重明 |
| 発行日 | 2018 年 1 月 20 日 第 1 刷 |
| 発行元 | 講談社 |
| 定価 | 1200 円（本体） |
| サイズ | 新書判 220ページ |
| ISBN | 978-4-06-502046-3 |
| その他 | 講談社ブルーバックス、越谷市立図書館で借りて読む |
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