導入として最低限の線形代数を解説したのち、体の理論を展開する。 訳者の寺田文行が演習問題を独自に入れている。
数学といっても最初はことばであり、その定義である。そのことばがわからなければ、 ずっとさきもわからないままである。 たとえば、拡大体、ということばがある。体ということばはわかったとしよう（英語では field、 ドイツ語では Körper ― 英語の body にあたる ―だ。なぜ外国語を出したかというと、 なんとなくなじみがあることばだからだ）。さて、拡大体とはなにか。
`E` を体とする．`E` の部分集合 `K` が `E` で定義された加法，乗法で体をなすとき， `K` を `E` の部分体といい，`E` を `K` の拡大体という。 `E` が `K` の拡大体であるということを，`K sub E` で表す。
では、実際にどんなときが拡大体なのだろう。数の世界でいえば、 0 を除く実数は体である。また、0 を除く有理数も体である。そして、0 を除く複素数も体である。 有理数は実数に含まれるから、実数体は有理数体の拡大である、といえる。 同様のことは複素数と実数の間ににもなりたつ。 ほかに何かいいことがあるのか。そう思って次の記述を見てみる。
`alpha`，`beta`，`gamma`，… を`E`の要素とするとき，`K`の要素を係数に持つ `alpha`，`beta`，`gamma`，… の多項式の商としてあらわされる`E`の要素の集合を `K(alpha, beta, gamma, …)` と書く．
ああ、ここでもうわからない。1, 2, 3 などは体の要素であるから、 `x^2+2x+3` は多項式と言えるのだろう。では、この商とは何だろうか。商というのは、 割り算の答であるから、割る数（モノ）と割られる（モノ）がある。 ここでの体は多項式であるから、割られる多項式が`x^2+2x+3` であるのはわかる。 では、割る多項式はなんだろうか。わからなければ、商と言われても見当がつかない。
わからなくなったので、練習問題を見ると、問題 1-2 があった。
`Q` を有理数体とするとき，
`Q(sqrt(2))={a+bsqrt(2)|a, b in Q}, (Q (sqrt(2)))//Q = 2`
を証明せよ。
こうしてみると、一般論の `E` はここでは実数体を指しているのだとわかるし、有理数体に含まれない `sqrt(2)`を登場させると、わかるような気がする。
とはいっても、わかるような気がするだけで、本当はわからない。 解答をみたら、こんなことが書いてあった。
`(a+bsqrt(2))/(c+dsqrt(2)) = (ac - 2bd) / (c^2 - 2d^2) + ((bc - ad)/(c^2 - 2d^2))sqrt(2) = e + fsqrt(2) (e, f in Q)`
なるほど。多項式の商というのは、（任意の多項式）／（任意の多項式）ということなのか。 納得した。 なお、加減乗の演算に対しては、`Q`の要素を係数とする`sqrt(2)`の多項式は`a+bsqrt(2)(a,b in Q)` の形に簡約されるので問題ない。
以前、培風館から出ていた「数学ブックガイド 100 」という本で、 このアルティンの本が推薦されていた。推薦文には「おせっかいな訳者が問題をつけているが…」 というような非難がましいことが書かれていたが、私のような初心者には練習問題はありがたい。
数式は MathJax で記述している。
| 書 名 | ガロア理論入門 |
| 著 者 | エミール・アルティン |
| 発行日 | 2010 年 4 月 10 日（初版） |
| 発行元 | ちくま学芸文庫 |
| 定 価 | 1200 円（本体） |
| サイズ | 文庫判 220ページ |
| ISBN | 978-4-480-09283-0 |
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