5次方程式には解を求める一般公式は存在しない。 ではどんな場合に解が求められるのか。それを明らかにしたのがフランスの数学者、 ガロアである。ガロアが開発したのが、群という概念だった。 著者はガロアの着想に沿って、5次方程式の一般公式がないこと、 どのような場合に一般公式が得られるのかを説明する。
Amazon の書評を見てみると、好意的な書評と批判的な書評がある。 私は理解していないのでどちらとも言えない。
ここで私が書くのは、この本を読んで受験数学を思い出したことである。 解と係数の関係を利用した問題がたくさんあった。 二次方程式 `x^2 + ax + b = 0` の解を `alpha` と `beta` とする。 このとき、`alpha^4 + beta^4` を `a` と `b` の式で表せ、などというものだ。 これが今思うと、ガロアの群論の入口の入口になっていたのか、 と感慨を覚えるのだった。
なお、私がガロア体を知ったのは、 高橋 磐郎の「組合せ理論とその応用」からであった。
同書では群の説明を主にガロア自身の記法によっている。私のほうで現代の記法と比べながら理解していきたい。
まず、方程式 `x^3 - 2 = 0` のガロア群は次の通りである。
| ガロア自身の記法 | 現代の記法 |
|---|---|
| `[(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(a,c,b),(c,b,a),(b,a,c)]` | 3 次対称群 `S_3` `{((abc),(abc)),((abc),(bac)),((abc),(acb)),((abc),(cba)),((abc),(bca)),((abc),(cab))}` |
つづく
| 書名 | ガロアの群論 |
| 著者 | 中村亨 |
| 発行日 | 2010 年 5 月 20 日 |
| 発行元 | 講談社(ブルーバックス) |
| 定価 | 880 円（本体） |
| サイズ | 新書判230ページ |
| ISBN | 978-4-06-257684-0 |
