鈴木貫太郎：大学入試数学不朽の名問 100

この解答では、`f(x) = 12x^3 - 21x^2 + 2x + 4` のグラフの外形が p.197 に示されている。 グラフを描くこと自体は重要だが、p.197 のグラフがあまり正確ではないように思える。具体的には、`f(-1)` の値が `f(1)` より大きいように見えるが、 実際は `f(-1) = -31, f(1) = -3 ` だから、`f(-1) lt f(1) ` である。それから、`f(2)` の値が `f(0)` の値より多少大きな程度に収まっているが、 実際は、`f(0) = 4, f(2) = 20` だから、`f(2)` は `f(0)` の 5 倍も大きいのに、それがグラフからではわからない。もちろん著者はこんなことは百も承知でグラフを書いているのだと思う。 というのは、これらの `f(-1), f(0), f(1), f(2)` の値については正負の判定が重要であり、解答にあたってはその絶対値はさほど考慮する必要がないからである。 それならば、誤解を招きそうなグラフは書かなければいいのにと思う。グラフを使わない解答なら(1)はこうなるだろう。

`f(x)` は 3 次関数だから、 `f(x) = 0` の解はたかだか 3 個である。`f(-1) = -31, f(0) = 4, f(1) = -3, f(2) = 20` であるから、中間値の定理より、`-1 lt x lt 0` なる `x` で解を少なくともひとつもつ。 同様に `0 lt x lt 1`で解を少なくともひとつ、`1 lt x lt 2` で解を少なくともひとつもつ。`f(x) = 0` の解はたかだか3 個であるから、 それぞれの区間で解を 2 つ以上もつことはない。よって、方程式①は正の実数解を 2 個、負の実数解を 1 個もつことが示された。

(2) は著者の解答に従うが、自分が理解しやすいように言い回しを変えて次のようにした。

(1) で示した通り、`0 lt alpha lt 1 ` かつ `1 lt beta lt 2 ` であるから `abs(alpha - 1) = 1 - alpha , abs(beta - 1) = beta - 1` 。 よって、`abs(alpha - 1) - abs(beta - 1) = ( 1 - alpha) - (beta - 1) = 2 - (alpha + beta)` の値が正であれば `abs(alpha - 1) gt abs(beta - 1)`、負であれば `abs(alpha - 1) lt abs(beta - 1)` である。`f(x) = 0` の負の実数解を `gamma` とすると、解と係数の関係から `alpha + beta + gamma = 21/12 = 7/4` 。 よって、`2 - (alpha + beta) = 2 - (7/4 - gamma) = gamma + 1/4`。そこで、`gamma` と `-1/4` の大小を比較する。 `f'(x) = 36x^2 -42x+1` であり、`x lt 0` の範囲では`f(x) gt 0 ` だから `f(x)` は単調増加である。 `f(-1/4) = (-3 - 21)(1/16) - 1/2 + 4 = -3/2 - 1/2 + 4 = 2 gt 0` だから、`gamma lt -1/4` 。 よって、`2 - (alpha + beta)` の値が負であることがわかったので、`abs(alpha - 1) lt abs(beta - 1)`。