堀田良之 : 代数入門

作成日 : 2021-08-17

最終更新日 :

概要

「おわりに」から引用する :

本書では，筆者の所属する大学のカリキュラムからの要請と，筆者個人の単因子論偏愛趣味もあって，ここにあるような構成をとってみた．

線型代数におけるジョルダン標準形の存在を単因子論から導く証明がある。

私のような頭が弱い者にとっては、抽象性の強い代数学という分野は苦手である。特に、次のような記述があると、気の弱い私は驚いてしまう。pp.14-15 にかけての命題とその証明である。

命題 3.3 i) （略）
ii) 準同型写像 `f` が同型写像であれば，逆写像 `f^-1 : G -> G` も同型写像である．
[証明] i) 略
ii) 当り前．

黒木玄先生の資料
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20080514_homorphism_theorem.pdf
によれば、証明は次のとおりである。

`a', b' in G'` に対して `a'b' = f(f^-1(a'))f(f^-1(b')) = f(f^-1(a')f^-1(b'))` なので `f^-1(a'b') = f^-1(a')f^-1(b')`

これならばわかる。この証明は、私には当り前には見えない。私にとって当り前とは、「犬が西向きゃ尾は東」とか「死ぬ前までは生きていた」ということなどだ。その程度の自明のことでないと当り前とは思えない。

誤植があるかどうかは、私の数学の実力ではわからない。索引では p.212 の「指標」を細分化した「―（アベール群の）」と書かれている。おそらくここは（アーベル群の）と書きたかったのではと推測されている。他の個所ではアーベル群と書かれている。

数式表現は ASCIIMathML を、数式表現はMathJax を用いている。

MARUYAMA Satosi