T. M. Apostol, Mathematical Analysis

概要

序文では次のように書かれている。

A glance at the table of contents will reveal that this textbook treats topics in analysis at the "Advanced Calculus" level. The aim has been to provide a development of the subject which is honest, rigorous, up to date, and, at the same time, not too pedantic. The book provides a transition from elementary calculus to advanced courses in real and complex function theory, and it introduces the reader to some of the abstract thinking that pervades modern analysis.

（抄訳）この本の目次を見てみると、「発展的微積分」レベルであることがわかるだろう。 厳しくはあるが、過度に衒学的にならないようにしたつもりだ。 初等微積分から発展した実解析や複素解析のコースへの橋渡しとして、 現代解析の抽象的思考を紹介した。

感想

山田　功の著書 工学のための関数解析で 「初等的な微分積分学と関数解析のギャップを埋める格好の名著」とある。

ギャップを埋めるというのはどういうことかは後で考えてみることにして、 まずは著者の序文に従って目次を見てみることにしよう。

1. 実数と複素数の体系
2. 集合論の記法
3. 点集合位相の基礎
4. 極限と連続
5. 導関数
6. 有界変動関数と求長可能曲線
7. リーマン-スティルチェス積分
8. 無限級数と無限積
9. 関数列
10. ルベーグ積分
11. フーリエ級数とフーリエ積分
12. 多変数の微分
13. 陰関数と極値問題
14. 多重リーマン積分
15. 多重ルベーグ積分
16. コーシーの定理と留数の微積分

ごらんの通り正直厳しい。これらをみな１年でマスターできるだろうか、というのが偽らざる気持ちである。

さて、ギャップを埋めるというのはどういうことだろうか、と目次をみながら考えてみた。 具体的には、初等的な微積分の教科書には見られない関数列、ルベーグ積分、フーリエ(級数|積分)があるあたりだろうか。

数式の表現

数式表現はMathJax を用いている。

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