引力圏脱出速度詳解−慶大(医)問題に見る

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以下,慶応大学医学部の問題の概要に沿って話を進めていく.

 速度 $\overrightarrow {V_{0}} $で運動している質量$(M +
m)$のロケットから質量$m$のガスを瞬間的に放出する.静止系に対するガスの速度は $\overrightarrow
{V} _{0} - \overrightarrow {v} $とする.ここで, $ - \overrightarrow {v}
$は噴射前のロケットから見たガスの相対速度である.ガス噴射後のロケットの速度 $\overrightarrow
{V} $は,運動量保存則より,

% latex2html id marker 222
$(m + M)\overrightarrow {V_{0}} = M\overrightarrow {V...
...ightarrow {V} = \overrightarrow
{V_{0}} + {\bun{{m}}{{M}}}\overrightarrow {v} $

よって,ロケットの運動エネルギーの増加$\Delta E$

\begin{eqnarray*}
\Delta E &=& {\bun{{1}}{{2}}}M(\overrightarrow {V_{0}} +
{\bu...
...^{2}}}{{2M}}}{\left\vert {\overrightarrow {v}}
\right\vert}^{2}
\end{eqnarray*}



と表される.

 一方,質量$M_{G}
$の天体(本問では星Sがこれに相当する)と質量$M$の物体(本問ではロケット)が距離$r$離れた位置にあるとき,その位置エネルギー$U$は,無限遠方を基準として $U
= - {\bun{{GM_\mathrm{G}
M}}{{r}}}$という式で与えられるので,星Sから距離$r$の位置をロケットが速度 $\overrightarrow
{V} $で運動しているときのロケットの力学的エネルギーは, $E =
{\bun{{1}}{{2}}}M\overrightarrow {V} \cdot \overrightarrow {V} -
{\bun{{GM_\mathrm{G} M}}{{r}}}$となる.

ロケットが星Sの引力圏から脱出するためには,無限遠方での運動エネルギーが0以上でなければならないから,力学的エネルギー保存則より,

\begin{eqnarray*}
% latex2html id marker 59E = {\bun{{1}}{{2}}}M\overrightarr...
...}}} \right\vert} & \ge & \kon {{\bun{{2GM_\mathrm{G}
}}{{r}}}}
\end{eqnarray*}



これが引力圏から脱出するための速度の条件式である.つまり,引力圏から脱出するためには,ロケットの力学的エネルギー$E$が0以上にならなければならないのである.
 さて,ロケットが星Sの引力圏から脱出できないということは,ロケットの力学的エネルギーが$E
<
0$ということであるから、これをガス噴射によって0以上にできればよいことになる.効率良くエネルギーを増やすには,先に述べた$\Delta E$ができるだけ大きな値になればよいわけで、その条件を考える問題である.

そこでまず,ガス噴射の向きについて考えてみよう.
$\Delta E$の式中に出てくる $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $ $\overrightarrow {v}$ ベクトルと $\overrightarrow {V_{0}} $ベクトルの内積であるから, $\overrightarrow {v}$ベクトルと $\overrightarrow {V_{0}} $ベクトルが直角なら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = 0$となり, $\overrightarrow {v}$ベクトルと $\overrightarrow {V_{0}} $ ベクトルが平行で同じ向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = + \max $ $\overrightarrow {v}$ベクトルと $\overrightarrow {V_{0}} $ ベクトルが 平行で逆向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = - \max $, となる.

 ここで, $ - \overrightarrow {v}
$は噴射前のロケットから見たガスの相対速度であるから,ロケット後方にガスを噴射した場合は $ - \overrightarrow {v}
$ $\overrightarrow {V} _{0}
$と逆向き,つまり $\overrightarrow {v}$ $\overrightarrow {V} _{0}
$は同じ向きとなり,ロケット前方にガスを噴射した場合は $ - \overrightarrow {v}
$ $\overrightarrow {V} _{0}
$と同じ向き,つまり $\overrightarrow {v}$ $\overrightarrow {V} _{0}
$は互いに逆向きとなる.したがって「そのままの向きでガス噴射」は前者の場合にあたり$\Delta E$は最大となり,「180度向きを変えてガス噴射」の場合は後者にあたり$\Delta E$は最小,「90度向きを変えてガス噴射」はその中間である.
 では次にガス噴射をする位置であるが,$\Delta E$をなるべく大きくするには, $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $が正でなるべく大きければよい. $\overrightarrow {v}$の値は決まっているので, $\overrightarrow {V_{0}} $の値がなるべく大きくなる位置でガスを噴射するのがよい.ロケットは星Sの引力に引っ張られてるのだから, $\overrightarrow {V_{0}} $が最大になる位置は星Sに最接近した位置である.このとき $\overrightarrow {v}$ $\overrightarrow {V_{0}} $が同じ向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $は正で最大となり, $\overrightarrow {v}$ $\overrightarrow {V_{0}} $が逆向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $は負に最大となる.

 以上より,最接近したときの後方噴射がもっとも加速でき,最接近したときの前方噴射がもっともエネルギーを落とすことになる.