２振子から成る連成振動 　詳解

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　２つ以上の振動子が相互に作用を及ぼしながら振動するとき， $\textcolor {red}{連成振動}$という。この場合，１つの振動子の運動は他の振動子の運動に影響を与え，逆にその振動子自身も他の振動子の影響を受ける。機械の振動，２つの音叉の共鳴など卑近な例をはじめとして，原子や分子といったミクロの世界にもこうした例はきわめて多い。

\includegraphics [scale=.8]{kaisetu0-1.eps}


　もっとも単純なモデルとして，２振子がばねに結ばれている例を考えよう。２つの振子Ｐ，Ｑはばね定数$k$の２本のばねと，ばね定数の$K$の１本のばねに結ばれ，$k$のばねは他端が固定され，$K$のばねはＰ，Ｑ間に結ばれているとする。Ｐ，Ｑの質量はともに$m$とする。
　いまＰ，Ｑの平衡点からの変位が$x_\mathrm{P}$，$x_\mathrm{Q}$であるとき，それぞれの運動方程式は，

$\displaystyle m\bun{d^2x_\mathrm{P}}{dt}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -k x_\mathrm{P}+K(x_\mathrm{Q}-x_\mathrm{P})=-(k+K)x_\mathrm{P}+Kx_\mathrm{Q}$ (1)
$\displaystyle m\bun{d^2x_\mathrm{Q}}{dt}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -k x_\mathrm{Q}-K(x_\mathrm{Q}-x_\mathrm{P})=Kx_\mathrm{P}-(k+K)x_\mathrm{Q}$ (2)

　$n$個の振動子からなる連成振動ではその運動方程式は$n$個の連立線形常微分方程式となり，その解は一般に$n$個の単振動の合成として表される。その単振動を $\textcolor {red}{基準振動}$，またその振動数を基準振動数という。この場合は振動子２個ゆえ，２個の基準振動の合成となる。その基準振動数を求めるために，上記の運動方程式を以下のように書き直してみる。（この方法は、高校生にも理解できるようにしたもので、一般的ではありません。一般的な方法は、他を参照して下さい。）
$(1)+(2)$，および$(1)-(2)$より，
$\displaystyle m\bun{d^2}{dt^2}(x_\mathrm{P}+x_\mathrm{Q})$ $\textstyle =$ $\displaystyle -k(x_\mathrm{P}+x_\mathrm{Q})$ (3)
$\displaystyle m\bun{d^2}{dt^2}(x_\mathrm{P}-x_\mathrm{Q})$ $\textstyle =$ $\displaystyle -(k+2K)(x_\mathrm{P}-x_\mathrm{Q})$ (4)

ここで， $(x_\mathrm{P}+x_\mathrm{Q})=2q_1$， $(x_\mathrm{P}-x_\mathrm{Q})=2q_2$とおくと，$(3)$，$(4)$式は以下のようになり，これより２つの基準角振動数$\omega_1$，$\omega_2$が求められる。
$\displaystyle (1)より， \quad\quad m\bun{d^2q_1}{dt^2}$ $\textstyle =$ % latex2html id marker 314 $\displaystyle -kq_1 \quad\quad\quad\quad \therefore \omega_1 = \kon{\bun{k}{m}}$ (5)
$\displaystyle (2)より， \quad\quad m\bun{d^2q_2}{dt^2}$ $\textstyle =$ % latex2html id marker 317 $\displaystyle -(k+2K)q_2 \quad \therefore \omega_2 = \kon{\bun{k+2K}{m}}$ (6)

したがって，$A_1$，$A_2$，$\theta_1$，$\theta_2$を初期条件より定まる積分定数として，

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rl} & q_1 =A_1\sin(\omega_1 t+\thet... ...\ & q_2 = A_2\sin(\omega_2 t+\theta_2) \\ \end{array}\right. \end{displaymath}

とおくと，
% latex2html id marker 324 $\displaystyle \therefore x_\mathrm{P}$ $\textstyle =$ $\displaystyle q_1+q_2= A_1\sin(\omega_1 t+\theta_1)+A_2\sin(\omega_2 t+\theta_2)$ (7)
$\displaystyle x_\mathrm{Q}$ $\textstyle =$ $\displaystyle q_1-q_2= A_1\sin(\omega_1 t+\theta_1)-A_2\sin(\omega_2 t+\theta_2)$ (8)

以上が、Ｐ、Ｑの時間変化を表す式である。定数部分は、初期条件によっていろいろ変わってくる。
　たとえば一例として，$t=0$において $x_\mathrm{P}=a$， $x_\mathrm{Q}=v_\mathrm{P}=v_\mathrm{Q}=0$とすると，

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rl} & a = A_1\sin\theta_1+A_2\sin\th... ..._1\cos\theta_1-\omega_2 A_2\cos\theta_2 \\ \end{array}\right. \end{displaymath}


% latex2html id marker 335 $\displaystyle \therefore A_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bun{a}{2},\quad\quad A_2=-\bun{a}{2},\quad\quad \theta_1=\bun{\pi}{2},\quad\quad \theta_2=-\bun{\pi}{2}$ (9)
% latex2html id marker 338 $\displaystyle \therefore x_\mathrm{P}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bun{a}{2}\cos\omega_1 t+\bun{a}{2}\cos\omega_2 t=a\cos\bigg(\bun{\omega_2-\omega_1}{2}t \bigg)\cos\bigg(\bun{\omega_1+\omega_2}{2} t \bigg)$ (10)
$\displaystyle x_\mathrm{Q}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bun{a}{2}\cos\omega_1 t-\bun{a}{2}\cos\omega_2 t=a\sin\bigg(\bun{\omega_2-\omega_1}{2}t \bigg)\sin\bigg(\bun{\omega_1+\omega_2}{2}t \bigg)$ (11)


下の図１，図２は上記(10)，(11)の場合で，$K=6k$である場合の$x_\mathrm{P}$と$x_\mathrm{Q}$の時間変化を表している。これより分かるように，$x_\mathrm{P}$の振幅が最大の時刻と$x_\mathrm{Q}$の振幅が最大となる時刻が交互になっていることが分かる。Ｐの振幅が減少するにつれてＱの振幅が増大し，逆にＱの振幅が減少するときＰの振幅が増大していく。つまりＰとＱの間で振動エネルギーのやり取りが行われているわけです。これはＰとＱの固有振動数（この場合はＰ，Ｑの質量と両サイドのばねのばね定数で決まる）が等しいために起きる現象で，Ｐ，Ｑの固有振動数が異なる場合にはこのようなことは起きません。このことは先のシミュレーションでＱの質量を１以外の値にしたとき，振幅の変化はきわめて起きにくいことから確認できるはずです。これが共振という現象です。
\includegraphics[scale=.8]{kaisetu11-1.eps}
\includegraphics[scale=.8]{kaisetu12-1.eps}

　

　

　なお，もし$\omega_1$の振動しか起きていないとすれば，$(9)$，$(10)$で$A_2=0$とおくと $x_\mathrm{P}=x_\mathrm{Q}$となり，ＰとＱは常に同じ向きに同じ運動をすることになる。つまり，$\omega_1$の振動$q_1$は下図３のような振動を表すことを意味する。また同様に，$\omega_2$の振動しか起きていないとすれば，$(9)$，$(10)$で$A_1=0$とおくと $x_\mathrm{P}=-x_\mathrm{Q}$となり，ＰとＱは常に逆向きの運動をすることになる。つまり，$\omega_2$の振動$q_2$は下図４のような振動を表すことを意味する。

　この場合のＰ，Ｑのような２振子の運動は，一般に下図３，４のような $\uwave{２つの特別な単振動の組み合わせ}$として表されることが知られている。

\includegraphics[scale=.8]{kaisetu6-2.eps}