振り子の共振

２つの振り子による共振　詳解

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下図において，天井の距離

だけ離れた２点Ｏ，Ｒからそれぞれ第１小球 $\mathrm{P_1}$ （質量

），第３小球 $\mathrm{P_3}$ （質量

）がともに長さ

の糸（または針金）でつるされ，その下に第２小球 $\mathrm{P_2}$ （質量

），第４小球 $\mathrm{P_4}$ （質量

）がそれぞれ長さ

，

の糸で結ばれている。また，第１小球 $\mathrm{P_1}$ と第３小球 $\mathrm{P_3}$ はばね定数

のばねで結ばれている。糸もばねもその質量は無視できる。
各小球の座標を図のようにとり，糸の張力を図のように表す。ただし各小球ともその変位は十分に小さく，糸が鉛直線に対してなす角 $\theta_1～\theta_4$ は十分に小さいとする。したがって，その変位は水平方向と近似できる。

$\includegraphics[scale=1.1]{furiko_kyousin_kaisetu2-1.eps}$

このとき各小球の変位，加速度（ $\bun{d^2x}{dt^2}=\ddot{x}$ のように表記する）は以下のようになる。

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 158\mathrm{P_1}:\left\{ \begin{arra... ...\ddot{y_1}=0 \cdots\cdots\cdots\Maru{2} \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 159\mathrm{P_2}:\left\{ \begin{arra... ...y_2}=0 \cdots\cdots\cdots\cdots\Maru{4} \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 160\mathrm{P_3}:\left\{ \begin{arra... ...efore \ddot{y_3}=0 \cdots\cdots\Maru{6} \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 161\mathrm{P_4}:\left\{ \begin{arra... ... \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\Maru{8} \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

よって各小球の

方向，

方向について運動方程式をたてると，

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 162\mathrm{P_1}:\left\{ \begin{arra... ...seq -T_1+T_2 +m_1g \cdots\cdots\Maru{10}\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 163\mathrm{P_2}:\left\{ \begin{arra... ..._2+ +m_2g \cdots\cdots\Maru{\small {12}}\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 164\mathrm{P_3}:\left\{ \begin{arra... ...T_4 +m_3g \cdots\cdots\Maru{\small {14}}\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 165\mathrm{P_4}:\left\{ \begin{arra... ..._4+ +m_4g \cdots\cdots\Maru{\small {16}}\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

$\Maru{12}$ より，　　

$\Maru{10}$ より，　　

$\Maru{16}$ より，　　

$\Maru{14}$ より，　　

この関係を $\Maru{9}$ ， $\Maru{\small {11}}$ ， $\Maru{\small {13}}$ ， $\Maru{\small {15}}$ に代入して，

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rl} & \Maru{9}より，　　m_1 l\ddot{\th... ..._4 \cdots\cdots\cdots\Maru{\small {15}}'\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

以上４式を連立させて，

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rl} & \textcolor{blue}{\ddot{\theta_1}... ...-(m_3+m_4)g\theta_4-k\theta_1 \bigg \} }\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

以上の４式をもとにシミュレーションしたのが，先のアニメである。