反射の数学的説明
　

前に戻る 　　 分野別一覧へ　　　　　トップページへ

　一般に波の反射には，位相が$\pi$ずれる固定端反射と，位相のずれない自由端反射とがある。

　なお，透過波は，位相のずれを生じない。

　＜まとめ＞

$\uwave{反射点において，}$


\begin{displaymath} \colorbox{yellow}{%\begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \v... ...textcolor{red}{位相のずれなし}\\ [3mm] \hline \end{tabular} } \end{displaymath}

　いま，$x$軸上を伝わる１次元の波があるとする。ただし，原点Ｏでは媒質が不連続になっており，$x<0$では媒質（$\mathrm{S_1}$）の密度が$\rho_1$，波の伝搬速度が$v_1$，$x>0$では媒質（$\mathrm{S_2}$）の密度が$\rho_2$，波の伝搬速度が$v_2$とする。波は$-x$方向から入射し，原点Ｏで波の一部が反射し，残りの一部はそのまま$+x$方向へ透過していく。入射波，反射波，透過波をそれぞれ，

\includegraphics[scale=.5]{wave-hansya-setumei-1.eps}

\begin{eqncases*} 入射波：　y_1(x\,,t) &=& A\sin\,\omega\,(t-\bun{x}{v_1}) \\ ... ...}) \\ 透過波：　y_3(x\,,t) &=& C\sin\,\omega\,(t-\bun{x}{v_2}) \end{eqncases*}
　ここで，$A$，$B$，$C$はそれぞれの振幅を表す。ただし$A>0$であるが，$B$，$C$については位相差$\pi$のずれを生じる場合も考慮して，正または負の値のいずれかであるとする。

　さてこのときこの媒質上を波動が入射してきたとき，次の２つの条件が満たされていなくてはならない。つまり，

1゜
　媒質の変位が，$x=0$の点（２つの媒質の接続点）で連続していなくてはならない。（変位の連続性）

2゜
　媒質上のすべての点で，エネルギーの保存則が成立していなくてはならない。（エネルギーの保存則）

（エネルギー保存則の代わりに，変位の距離勾配の連続性を考えるのが普通だが，高校生にはエネルギーの保存則の方が理解しやすいと思われるので，ここではその立場で説明する。）

　

　まず1゜について考えよう。$x=0$の点でのそれぞれの波動による振動は，上式に$x=0$を代入して，

\begin{eqnarray*} &　& y_1(0\,,t) + y_2(0\,,t) = y_3(0\,,t) \\ ∴&　& A\sin\,... ...\,\omega\,t \\ ∴&　& A+B=C……………………………………(1) \\ \end{eqnarray*}



　次に，2゜について考える。波動が単位時間に運ぶエネルギー量を，波の強さという。波の強さ$I$は，次式で与えられる。


\begin{displaymath}I=\bun{1}{2}\times (媒質の密度) \times (角振動数)^2 \times (振幅)^2 \times 伝搬速度 \end{displaymath}

　よって入射波，反射波，透過波の波の強さをぞれぞれ$I_1$，$I_2$，$I_3$とすると，$x=0$の点における単位時間あたりについてのエネルギー保存則は，

\begin{eqnarray*} &　& 　　I_1 = I_2+I_3 \\ ∴&　&\bun{1}{2} \, \rho_1 \, \omeg... ...B^2\,v_1+\rho_2\,C^2\,v_2………………………………………………(2) \end{eqnarray*}



(1)と(2)を連立させて，$B$，$C$を$A$で表すと，


\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rl} \kern-1.2em & B=-A \\ \kern-1.... ...,v_1}{\rho_1\,v_1+\rho_2\,v_2}A \end{array} \right.　……(4) \end{displaymath}

　(3)は透過波の振幅$C$が$0$ということで，当初より透過波を否定している解であるからこれは不適。よって(4)が$B$，$C$を与える。

　以上より，$\rho_1 v_1$，$\rho_2 v_2$の大小にかかわらず$C>0$であり，

透過波はいかなる場合においても位相のずれを生じない。

　しかし，反射波は$\rho_1 v_1$，$\rho_2 v_2$の大小によって，次の２つのケースがある。


\begin{displaymath} 　　　　　\textcolor{red}{ \left\{ \begin{array}{rl} \ker... ...pi の位相のずれ（\uwave{固定端反射）}\\ \end{array} \right. }\end{displaymath}

例１
　弦上を伝わる横波の場合：

　弦を伝わる横波の速さ$v$は，弦の張力を$T$，弦の線密度を$\rho$とすると， $v=\kon{\bun{T}{\rho}}$という式で与えられるゆえ，

\begin{eqnarray*} &　& \rho v=\rho \kon{\bun{T}{\rho}}=\kon{\rho T}∝\kon{\rho} ... ...un{\kon{\rho_1}-\kon{\rho_2}}{\kon{\rho_1}+\kon{\rho_2}}A……(5) \end{eqnarray*}




\begin{displaymath} 　　 ∴\left\{ \begin{array}{rl} \kern-1.2em & \rho_1 >\r... ... なら，B<0 \longrightarrow 固定端反射 \\ \end{array} \right. \end{displaymath}

例２
　音波（縦波）の場合：

　　空気で，　　 $\rho_1≒1.3\mathrm{kg/m^3}，　　　v_1≒340\mathrm{m/s}$，

　　水で，　　　 $\rho_2≒10^3\mathrm{kg/m^3}，　　　v_2≒1.5\times10^3\mathrm{m/s}$，

　　　 $∴　\rho_1 v_1<\rho_2 v_2　　∴B<0 $

　つまり空気中から水中に音波が入射する場合，反射音波は固定端反射となる。

例３
　光波の場合：

光波の場合は，上記の議論をそのまま当てはめることはできないので，あくまでもその類推として理解しておいていただきたい。

　光波は横波ゆえ，弦の場合を当てはめて考えよう。前記(5)式において，

　　 $v=\bun{\kon{\rho}}{\rho}=\bun{1}{\kon{\rho}}　∴\kon{\rho}=\bun{1}{v}$　

の関係を使って$v$の式に書き直すし，さらに $n=\bun{v_1}{v_2}$をもって$x<0$の領域の媒質に対する$x>0$の領域の屈折率と定義すれば，$B$，および$C$は次のようになる。

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rl} \kern-1.2em & B =\bun{\kon{\rho_1... ... =\bun{2}{1+\bun{v_1}{v_2}}A=\bun{2}{1+n}A \end{array} \right. \end{eqnarray*}



　このことから，屈折率$n$が$n<1$ならば$B>0$，つまり反射波は入射波と同位相，$n>1$ならば$B<0$，つまり反射波は入射波に対して位相が$\pi$ずれる。これに対して，$n$の値によらず$C>0$であるから，透過波の位相はずれることはない。

このことを，光波を含む横波一般についてまとめると次のようになる。


\begin{displaymath} \colorbox{yellow}{%\begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \v... ...C覆訃豺腓皸盟蠅里困譴覆掘} \\ [3mm] \hline \end{tabular} } \end{displaymath}

　

　

前に戻る

分野別一覧へ　　　　　トップページへ