逐次検定は，固定標本方式に較べて，標本数が少なくてすむという利点がある．例えば，硬貨投げの表裏の確率が0.5と0.7のいずれであるかを検定する場合，2種類の過誤をともに0.10とすると，0.7が真の場合，固定標本方式では39試行，途中で打ち切っても平均34試行を要するが，逐次検定では平均21試行で検定が終了する（３．４参照）．
　しかし，一般に逐次検定は，この例のように，2つの単純仮説に対して定式化されているので，このままの形で連続量である学習水準の評価に適用することはできない．学習水準を評価する場合，すべての学習水準に対応した無限個の単純仮説を立てることになるからである．
　本稿では，逐次検定を学習水準の評価に適用する際の考え方，およびその際の逐次検定の振る舞いについて，数値計算およびシミュレーションによって明らかにする．
　なお，米軍の訓練データによる実際的研究の報告が文献⁽⁴⁾に，また項目反応理論に基づいたテスト項目を使用して逐次検定を行なった場合および項目反応理論による能力推定との現実的な比較研究が文献⁽³⁾pp.237-283に報告されている．

　本稿では，何らかの測度で測った量に従って，被験者をいくつかのカテゴリに分類することを考えているのだが，被験者の能力をどのようなモデルで記述するかは，難しい問題である．
　ごく一般的に考えれば，所与の課題に取り組むということは，被験者が，既存の内的モデルの総体を組み直し，課題に対応できる内的モデルを再構築する試みであると考えることができる．適切な内的モデルの構築に成功すれば，解答が得られるわけである．内的モデルの再構築は相当に劇的なプロセスと考えられるから，正答率50%等という中間的な学習程度は考えにくい．むしろ，解答できるかできないかの二者択一のように思われる．しかし，一般に学習目標は，特定の問題の解答そのものにあるのではなく，より抽象的なレベル（学習内容の汎化）にあるのが普通であり，再構築される内的モデルも，より一般的なものが期待されている．学習内容の汎化とは，その内的モデルの一般化の程度に他ならない．
　このように考えると，「ある被験者の，あるテスト項目に対する正答率」という概念は余り意味を持たず，「ある学習目標に対応する一群のテスト項目に対して，正答可能なテスト項目の割合」と考える方が妥当であるように思われる．本稿でいう正答率は，このような意味で使われている．
　この意味で，1年次では30%，2年次では60%，3年次では80%，などの年次別の習得目標を設定することができる．本稿でいうカテゴリ分けは，このような状況を想定したものである．

　この章では，逐次検定の概要について述べる．この章の議論は，特定点θ_m（３．２参照）における検定力と平均標本数の導出を除き，主として文献^(1)-(2)による．
　記号については，各節の「記号および定義」の項にまとめてあるので，随時参照されたい．

　３．１　逐次検定の概要

　逐次検定では，一般の検定のように標本数をあらかじめ固定することをせず（３．４参照），標本を得るたびに，検定仮説Ｈ₀と対立仮説Ｈ₁の尤度を算出し，その比λが，グレイゾーン（採択限界ｃ₁と棄却限界ｃ₂の間）

　ｃ₁　＜　λ　＜　ｃ₂

にある限り判定を保留し，サンプリングを続ける．上記の範囲を越えたときに検定は終了するが，当然そのときの標本数は一定ではない．検定に要する標本数は，同じ第1種，第2種の過誤α，βをもつ固定標本方式に比べ，概ね半数程度になることが知られている．
　ｃ₁，ｃ₂とα，βの関係式は，それぞれの仮説Ｈ₀，Ｈ₁が正しく判定される確率１−α，１−βを定義に従って劣評価することにより，得られる．詳細は，文献⁽¹⁾を参照されたい．
　また，θの真の値がθ₀とθ₁の間にあるときには，逐次検定がいつまでも終わらない印象を受けるが，検定が終わらない確率は０であることが示されている⁽²⁾．

　記号および定義

	母集団(θ)の確率密度		ｆ(x;θ)
	検定仮説		Ｈ0：θ＝θ0
	対立仮説		Ｈ1：θ＝θ1
	検定仮説Ｈ0の確率密度		ｆ0(x)＝ｆ(x;θ0)
	対立仮説Ｈ1の確率密度		ｆ1(x)＝ｆ(x;θ1)
	第１種の過誤		α
	第２種の過誤		β
	尤度比		λ＝ ｆ1(x) Π x:観測値 ｆ0(x)
	採択限界		ｃ1＝ β １−α
	棄却限界		ｃ2＝ １−β α

　３．２　検定力関数と平均標本数

　この節の検定力関数および平均標本数の導出法は，θ_mにおける値の導出を除いて，すべて文献⁽²⁾pp.232-236によるものである．ただし，記号は，一部異なっている．また，陰関数の微分法や微分積分の交換，可積や極限値の存在の条件などは適当に揃っているものと仮定しておく．
　検定力関数Ｐ(θ)は，母数θに対して，検定仮説Ｈ₀を棄却する確率である．定義により，Ｐ(θ₀)＝α，Ｐ(θ₁)＝１−βである．

　記号および定義

	検定力関数		Ｐ(θ)
	平均標本数		Ｅ[n](θ)
	ｚ(x)＝log( ｆ1(x) ) ｆ0(x)
	Ｅ[z](θ) ＝∫ｚ(x)ｆ(x;θ)dx
	Ｅ[z2](θ)＝∫z(x)2ｆ(x;θ)dx
	θmの定義：		Ｅ[ｚ](θm)＝0
	φ(u;θ)＝∫( ｆ1(x) )u ｆ(x;θ)dx ｆ0(x)
	ｈ(θ)の陰関数定義：		φ(ｈ(θ);θ)＝１ 　但し，ｈ≠０（図１参照）

　３．２．１　検定力関数の導出

　本稿に必要な点のみ，概要を述べる．詳細は，文献⁽²⁾を参照されたい．
　関数ｇ(x;θ)を次のように定めると，

	ｇ(x;θ)＝(	ｆ1(x)	)h(θ)ｆ(x;θ)	(1)
		ｆ0(x)

ｈ(θ)の定義により，ｇ(x;θ)を確率密度と考えることができる．すると，所与の逐次検定をｆ(x;θ)とｇ(x;θ)に関する採択限界 ｃ₁^ｈ 棄却限界 ｃ₂^h の逐次検定に読み代えることができ，これから第１種の過誤を逆算して，次の検定力関数を得る．

Ｐ(θ)＝	１−ｃ1ｈ	(2)
	ｃ2ｈ−ｃ1h

　ここで，この導出法では，ｈ(θ)＝0のときは，(1)式で定義される確率密度ｇ(x;θ)がｆ(x;θ)と一致し，ｆとｇが逐次検定を構成しない，よって，(2)式を直ちに適用することができないことに注意されたい．（このことは，(2)式の分母が0になることからも了解される．）
　さて，φ(u;θ)は，その定義から，次の性質を持つことがわかる．

　φ(0;θ)＝１
　φ ′(0;θ)＝Ｅ[ｚ](θ)
　ｕ→±∞ のとき　φ(u;θ)→∞

　図１は，この様子を描いたものである．このことから，

　θ→θ_m のとき　ｈ(θ)→0

であり，(2)式からＰ(θ_m)を求めることができないことがわかる．
　Ｐ(θ_m)は，Ｐ(θ)のθ→θ_mでの極限を取ることにより求められる．

Ｐ(θm)＝	−logｃ1	(3)
	logｃ2−logｃ1

図１　関数φ(u;θ)の概形とｈ(θ)の定義⁽²⁾

　平均標本数の理論値およびシミュレーションによる実測値を，表１，図２，図３に掲げる．

　３．２．２で指摘したように，ｐがｐ₀とｐ₁の中間にあっても平均標本数は発散しない．逐次検定が最も不利となるｐ_m付近においてさえ，固定標本方式（打ち切りあり）に比較して，なお8割程度に削減され，有効性を保っている．しかも，｜ｐ₀−ｐ₁｜= 0.1 のときの方が 0.2のときより削減幅は大きくなっている．
　この事実は，逐次検定が有効なのは，一般にいわれているように｜ｐ₀−ｐ₁｜が十分大きいとき，ではないことを示している．
　図２，図３から，固定標本方式でも，打ち切りを行なうと，かなり標本数を削減できるケースがあることがわかる（グラフの両裾）．もし打ち切りをしなかった場合は，39（ｐ₁＝0.7の場合）の標本を要することになるが，その標本からはｐを推定することができる．それに反し，打ち切りを行なった場合は，結果としてｐの推定を放棄し，標本の持つ情報量をＨ₀とＨ₁の二者択一に縮約する．その代わりに，標本数の削減という利益を得ているのである．
　実際，得られた標本からｐを推定する問題を考えてみよう．ｐが0〜1のいずれかの値をとる可能性が一様であるとすれば，標本から計算される「標本ｐ（以下ｐ_sと記す）」を生ずる母数ｐの可能性を逆算することができる．図４，図５は，そのｐの可能性（ｐ_s＝0，1/3，1の3つのケース）および（情報量の大きさの指標として）標準偏差を示したものである．図２と対照すれば，前述の解釈を裏付けていることが看取される．（図５の横軸は，ｐではなく ｐ_sであることに注意されたい．） 　逐次検定の場合は，更に徹底して，ｐの推定はほとんど不可能であり，その分，標本数は，少なくてすむのである．
　以上の考察から，逐次検定は，偏った標本に対してサンプリングを停止することにより平均標本数を削減しているのであり，｜ｐ₀−ｐ₁｜の大きさには直接関係していないことがわかる．｜ｐ₀−ｐ₁｜は，Ｅ[n](ｐ)のグラフの尖度に関係しているのである．従って，ｐがｐ₀，ｐ₁の中間にあるから平均標本数が発散するという直感は成り立たないのである．
　以上から，ｐがｐ₀，ｐ₁に関わりなく分布すると考えねばならない学習水準の評価にも，逐次検定は十分に効果があると結論できる．

図２　平均標本数(p₀=0.5，p₁=0.7)

図３　平均標本数(p₀=0.5，p₁=0.6)

図４　ｐの推定(p₀=0.5，p₁=0.7)

図５　ｐの推定値の情報量(p₀=0.5，p₁=0.7)

図６　検定力の比較(p₀=0.5, p₁=0.7)

図７　検定力(p₀=0.5, p₁=0.7)

図８　５つのカテゴリへの分類

　以上，逐次検定の有効性および複合仮説への適用について，一般に流布されている解釈（その中には，明白な誤りを含むものがある）とは多少異なる解釈を提示し，これを学習評価に適用する際の留意点および有効性について述べた．
　逐次検定は，“紙と鉛筆の試験”では制約が強すぎ，実現性に乏しいが，コンピュータ支援が可能であれば，出題形式等に制約があるものの，ランダム逐次出題は極めて容易である．この分野への逐次検定の適用は，コンピュータ支援によって初めて実効性が生じたといっても良い．また，多様な困難度を持つテスト項目を用意できれば（これにはコンピュータ支援が必須である），平均標本数のピークをならすことができ，更に有効となる⁽⁵⁾．
　パーソナル・コンピュータが普及している現状に鑑み，適切なるアセスメントの下に，有効活用されることを望むものである．