「幾何学Ⅰ」受講者へ

補講用にホームページを作りました。

幾何学Ⅰレポートについて

レポート課題：2.12(1), 2.15(4), 2.26(5), 2.28(2), 2.30(3) の計5問。
締め切り：9月3日（月）17時。締め切り後の提出は受け付けません。
手書きでもオーケーですが、A4サイズの紙を使うようにしてください。また、レポートの最初のページは「幾何学Ⅰのレポート」、「学籍番号」、「氏名」を書き、レポートの内容は2ページ目から書き始めること。また、レポートはホチキスで左上をとめ、自分のレポートが全部で何枚なのか、どういう順番で書かれているのか判読に苦しむことがないように配慮するようにしてください。
提出方法：持参もしくは郵送のいずれか。メールでの提出は受け付けません。持参の場合は、教育人間科学部第2研究棟（キャンパスマップのS3-④）６階605室の前に置いてある「幾何学Ⅰレポート入れ」に入れる。郵送の場合は、「〒240-8501　横浜市保土ヶ谷区常盤台79-2　横浜国立大学教育人間科学部第2研究棟605室　西村尚史」宛に送ること。郵送の場合も、締め切りまでに届いていない場合は受け付けませんので、危なそうな場合は速達で送ること。
注意事項その１：これまでの小テストとレポート内容の総合評価で成績がつきます。
注意事項その２：補講中に前に出て解答の解説をしてくれた人の場合は、もちろんそれも評価します。「レポート課題数問分の解答に相当」という評価の予定です。具体的に何問分に相当するかは人によります。より上の評価を目指す人はレポートの提出をお勧めします。
注意事項その３：手書きの場合、読みやすい字で書くようにしてください。解読に苦しむ字の場合は、読んでもらえないかもしれず、その課題には解答していないと判断される場合もあり得ます。また、図を多用したり、効果的に色を使うなど、わかりやすく読みやすいレポート作成を心がけてください。

これまでの小テストの出来はもちろん評価の対象にしますが、補講においては小テストはしないことにして、8月27日（月）にこのホームページ上で、レポート課題を与えることにします。レポート課題は、"2.12 Exercises"，"2.15 Exercises"， "2.18 Exercises"，"2.26 Exercises"，"2.28 Exercises"，"2.30 Exercises"の中から数問が選ばれることになると思います。補講ではこれらのExercisesを解くことに重点を置こうと思いますので、各回の補講に出席し積極的に学んでいれば、レポート作成は苦労しないであろうと想像します。

第2章の序文にもあるように、平面曲線は様々な場面で登場する基本的な数学的対象なのでした。また、「尖った部分がある曲線」が自然に登場し、重要な対象となるのでした。しかし、「尖った部分がある曲線」の調べ方は20世紀後半になるまで人類は持っていなかったので、高校の数学においても大学での微積分においても「尖った部分がある曲線」はグラフィックスや写真で眺めることはあっても、幾何学としての考察の対象としては登場していませんでした。
この授業では「尖った部分がある曲線」が普通に登場し、この授業で「尖った部分があってもよい曲線」の扱いに慣れてもらうのでした。

第2章の内容をまとめておきます。

第2章の最初の単元は"Parametrized curves"で、序文・導入用のExampleとExercisesの後、13ページから始まります。曲線の数学的な表示法としては、大きく分けて、「写像の像として定義される集合（曲線のパラメータ表示）」と「方程式で定義される集合（曲線の陰関数表示）」の二通りがありますが、この授業で扱う曲線とは「写像の像として定義される集合（曲線のパラメータ表示）」のことで、この単元で定義されているのでした。この単元での最重要キーワードは "regular curve（正則曲線）"で、「各成分関数は何階でも微分できる」写像で定義され、接ベクトルがゼロベクトルでない曲線のことでした。
第2章の2番目のの単元は"Tangent vectors"で、15ページから始まります。この単元での最重要キーワードは "unit tangent vector（単位接ベクトル）"です。長さが１のベクトルは扱いやすく重要なのでした。
第2章の3番目のの単元は"Contact"で、18ページから始まります。この単元では、直線や円との接触が特別な状態にある点が登場します。それらの点は、それぞれ "inflexion（変曲点）"、"vertex（頂点）"と呼ばれます。 Exercisesがたくさん用意されているので、変曲点や頂点の計算に慣れてもらいます。
第2章の4番目のの単元は"Reparametrization"で、23ページから始まります。この単元において、「"arclength（弧長）"という特別なパラメータを考えると、正則曲線のすべての接ベクトルの長さを１にできる」ということを学びます。
第2章の5番目のの単元は"Curvature"で、28ページから始まります。この単元において幾何学においてとても重要なキーワードである"curvature（曲率）"が登場しますが、実用上は、曲率を使った公式である 2.25の"Serret-Frenet formulae for plane curves（平面曲線のセレ・フレネの公式）"がより大事と言えましょう。「正則曲線のあらゆる性質はセレ・フレネの公式から導かれる」と言っても過言ではないぐらいに重要な公式で、このセレ・フレネの公式のために弧長パラメータの導入が必要になっていました。
第2章の残りの単元は"Functions on plane curves"と"Space curves"ですが、"Space curves"は扱わないことにします。 32ページから始まる"Functions on plane curves"では、Exercisesが中心となります。ここまで登場してきた概念を使って平面曲線を深く調べるExercises がいろいろ用意されています。

補講の各回の予定

8月7日（火）
- 2時限・・・第2章の"Parametrized curves", "Tangent vectors", "Contact"の復習, "2.12 Exercises"
- 3時限・・・第2章の"Contact"の続き, "2.15 Exercises"
- 5時限・・・第2章の"Reparametrization", "2.18 Exercises"
8月24日（金）
- 2時限・・・第2章の"Reparametrization"の続き, "Curvature"
- 3時限・・・第2章の"2.26 Exercises"
- 5時限・・・第2章の"Functions on plane curves", "2.28 Exercises"
8月27日（月）
- 5時限・・・第2章の"2.30 Exercises"

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第2章の内容をまとめておきます。

補講の各回の予定

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