ゼルニケの多項式

作成日:2016-09-18
最終更新日:

ゼルニケの多項式

ゼルニケ多項式(ツェルニケ多項式)は、オランダの物理学者であるゼルニケ(ツェルニケ)の名前からとられている。 ゼルニケは位相差顕微鏡の発明でノーベル賞を得ている。また、光学の研究でも名高い

さて、ゼルニケ多項式はレンズの球面の評価で使われている。この多項式の興味深い性質を少しずつ探っていこう。

ゼルニケ多項式の定義

ゼルニケ多項式`V_(nl)(x, y)`は、動径方向と角方向(回転方向)に変数分離された完全直交系である。

`V_(nl)(x, y)``= V_(nl) (r * sin theta, r * cos theta)`
`= R_(nl) (r) e^(il theta)`

ここで `theta` は動径方向と `y` 軸の間の角である。また `i` は虚数単位である。上の式は以下の関係を満足し、完全直交系であることを示している。
`int int_R dxdy[V_(nl)(x, y)]^* V_(mk)(x, y) = pi / (n + 1) delta_(mn) delta_(kl)`
ただし、積分範囲 `R` は単位円内、すなわち `x^2 + y^2 <= 1` である。また、* は複素共役を表す。`delta_(ij)` はクロネッカーのδである。 `R_(nl)(r)` は次の式で表される。

`R_(nl)(r) = sum_(k=l)^n B_(nlk)r^k`
`B_(nlk) = ((-1)^((n-k)//2) ((n+k)/2)! ) / (((n-k)/2)! ((l+k)/2)! ((-l+k)/2)! )`

ここで、`n` は 0 以上の整数、`l` は `|l| <= n ` かつ `n- |l|` は偶数という条件を満たす正負の整数である。 また、`n - k` は偶数である。さらに、`R_(nl) = R_(n, -l)` である。 ゼルニケ多項式の動径方向を表す関数 `R_(nl)(r)` の具体的な形は現在確認中である。

`R_(00)(r) = B_(000) r^0 = 1 * r^0 = 1`
`R_(11)(r) = B_(111) r^1 = 1 * r^1 = r`
`R_(22)(r) = B_(222) r^2 = 1 * r^2 = r^2`
`R_(20)(r) = B_(200) r^0 + B_(202) r^2 = ((-1)^1(2/2)!)/((2/2)!(0/2)!(0/2)!)r^0 + ((-1)^0(4/2)!)/((0/2)!(2/2)!(2/2)!) r^2 = -1 + 2 r^2`
`R_(33)(r) = B_(333) r^3 = 1 * r^3 = r^3`
`R_(31)(r) = B_(311) r^1 + B_(313) r^3 = ((-1)^1(4/2)!)/((2/2)!(1/2)!(0/2)!)r^1 + ((-1)^0(6/2)!)/((0/2)!(4/2)!(2/2)!) r^3 = -2r + 3 r^3`
`R_(44)(r) = B_(444) r^4 = 1 * r^4 = r^4`
`R_(42)(r) = B_(422) r^2 + B_(424) r^4 = ((-1)^1(6/2)!)/((2/2)!(4/2)!(0/2)!)r^2 + ((-1)^0(8/2)!)/((0/2)!(6/2)!(2/2)!) r^4 = -3r^2 + 4 r^4`
`R_(40)(r) = B_(400) r^0 + B_(402) r^2 + B_(404) r^4 = ((-1)^2(4/2)!)/((4/2)!(0/2)!(0/2)!)r^0 + ((-1)^1(6/2)!)/((2/2)!(2/2)!(2/2)!)r^2 + ((-1)^0(8/2)!)/((0/2)!(4/2)!(4/2)!) r^4 = 1 - 6r^2 + 6r^4`


数式表現

数式の記法には ASCIIMath を、 数式の表示には MathJax を用いている。

文献

[1] 森俊二、坂倉栂子:「画像認識の基礎 [II] 」、オーム社

リンク


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