ミランダ・ランディ：幾何学の不思議

概要

幾何学の不思議を図版で明らかにする。

五角形のタイリング

決まったパターンの図形を使って平面を埋め尽くすことをタイリングという。 正五角形だけによるタイリングはできないが、正五角形と別の図形を使ってタイリングすることはできる。

半径１の円に内接する五角形 `X` を書いてみよう。頂点の１つ `A` の座標が(0, 1)であるとする。 `A` から時計方向とは逆回りに頂点 `B, C, D, E` があるとする。複素平面で考えると、 `A` から `E` までの点を複素数表示すると、それらは多項式 `z^5 - 1 = 0` の解である。実際には、たとえば `B` であれば `B = cos {:(2pi)/5:} + sin{:(2pi)/5:} i` となる。 なお、`cos {:(2pi)/5:}` の厳密解を求めるには、`z^4 + z^3 + z^2 + z^1 + 1 = 0` を解けばよい。解き方は省略する。

まず、一つの正五角形と、この正五角形と辺を共有する周囲の５つの正五角形を SVG で書いてみた。 次の図である。

あと２つの基本図形があったのだが思い出せない。合わせて３つの基本図形を組み合わせれば、 平面がすべて埋まる。

シンメトリー

56 ページは、２次元の対称群全17種類が図版で紹介されている。 ブルーバックスの結晶とは何かで一部が紹介されているが、 この本では全部が紹介されているのはありがたい。 ちなみに「結晶とは何か」ではサンプル図形がト音記号だったが、この本のサンプル図形はヘ音記号に似ている。 どちらも音楽記号であるがこれは偶然の一致だろう。

書誌情報