小平　邦彦：幾何のおもしろさ

概要

幾何の論理について。

実験としての幾何

「はじめに」の vii に次の文章がある。

殊に平面幾何には実際に紙の上に描かれた図形に見られる現象を説明する自然科学という面があった． たとえば，パスカルの定理によれば，円に内接する六辺形の三組の対辺の延長の交点 `P, Q, R` は一直線上にある． 実際に紙の上に円に内接する六辺形を描き， その各辺を延長して三組の対辺の延長の交点 `P, Q, R` を定め， 定規を当てて見ると定理がいう通り三点 `P, Q, R` が一直線上に乗っているので嬉しくなるのであった。

ここでいう自然科学とは、実験ができるという意味と解釈した。 小平先生が味わったうれしさを追体験したいと思い、コンパスを取り出して円を描き、 定規を取り出して円に内接する六辺形の三組の対辺を書いたが、 延長の交点 `P, Q, R` は一直線上にはなく、落胆した。

それはそうだ。円は正確でなければならず、六辺形は正確に円に内接していなければならず、延長線は正確に引かれていなければならないのだが、 私の製図は粗雑であったからずれてしまったのだ。落胆のため、パスカルの定理を表す図を載せるのはやめた。

円論

p.181 に次の文章がある。

今まで述べた三角形，四辺形と円に関する定理だけに基づく平面幾何の理論を円論という． 昔の平面幾何では比例あるいは面積を用いれば簡単に証明できる命題も比例や面積によらないで円論の範囲で証明することが一つの興味の中心であった． 証明問題の解としては比例および面積を避けた円論による証明が名解とされた．

このように、手段がいくつもあるにもかかわらず、あえてやさしい手段を使わずに制限された範囲で解を求めようとする、 一種禁欲的な態度を表明されてしまうと、わたしとしては引いてしまう。 インターネットで見るかぎり、幾何を敬遠している数学愛好者はけっこう多いように見受けられる。 わたしもその一人だ。ただ、幾何を知らずに敬遠するのも大人げないので、この小平先生の本を買って少しは勉強しようと思ったのだ。

公理

p.329 の補追の 3 で、平行線の公理を次の公理で書き換えてもよいことが述べられている。

[公理] 三角形の内角の和は 2 ∠ R に等しい

小平氏はこの書き換えに関して この[公理]の方が第五公準よりももっと具体的である．ただ少しも公理らしくないのが欠点である． と述べている。

ここで第五公準というのはユークリッド幾何学での五つの公準の第五番目のものを指す。

参考

• 小平　邦彦：幾何への誘い

書誌情報

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