日本応用数理学会誌2004年12月号

行列式とパフィアン(4)

一般化された Cusick の恒等式

一般化された Cusick の恒等式の説明である。Cusick の読み方は知らない。

まず、ハンケル行列を考える。ハンケル行列とは左下から右上方向の対角線と平行な行列成分がすべて等しい行列である。 `N`次正方行列のハンケル行列の独立した成分は `2N - 1`個からなる。`N = 5` の場合は次のようになる。

`A = ((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5),(a_2, a_3, a_4, a_5, a_6), (a_3, a_4, a_5, a_6, a_7), (a_4, a_5, a_6, a_7, a_8), (a_5, a_6, a_7, a_8, a_9))`

さて、`N` 次のハンケル行列の行列式はどうなるか。

`A_N(n) = |a(n + j + k - 2)|_(1 <= j, k <= N)`
`B_N(n) = |b(n + j + k - 2)|_(1 <= j, k <= N)`

一方、パフィアンの成分を次で定める。

`pf(i, j) = sum_(s=0)^(j - i - 1)a(i + s)b(j - 1- s), i < j`

すると、次の一般化された Cusick の恒等式が成り立つ。

`pf(n, n+1, n+2, ..., n + 2N - 1) = A_N(n)B_N(n)`

理解はこれからだ。

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