日本応用数理学会誌1994年6月号 |
作成日：2006-09-18 最終更新日： |
ニュートン・ラフソン法(Newton-Raphson method)の収束について、 論文誌で掲載されているので、調べてみた。
通常のニュートン・ラフソン法は、1変数関数 f(x) に適用する場合、 次のようになる。
Φf(x) = x - f(x) / f'(x)
xk + 1 = Φx(xk). (k = 0, 1, ... )
上記Φfを、反復関数と呼ぶ。
ここで、f(x) に 関数 g(x) を乗算した h(x) ≡ g(x)f(x) の零点を 1 変数のニュートン・ラフソン法によって求めるアルゴリズムを 1 変数の関数乗算型ニュートン・ラフソン法という。
1 変数の場合、g(x) ≠ 0 と仮定し、 f, g がともに微分可能であるとすれば、反復関数は次のようになる。
| Φh(x) | = x - h(x) / h'(x) |
| = x - f(x)g(x) / {f'(x)g(x) + f(x)g'(x)} |
ここで、g(x) として、各種の取り方が考えられる。
例１．g(x) = x -α，α = 1
例２．g(x) = exp(βx)，β = -1
多変数への拡張や， 非定常法(反復関数が反復ごとに変化する方法)への拡張もあるが， 省略する．
私は一時期，数値計算で， 方程式の零点を求めるときの初期値の選定に苦労していたので， 多少なりとも興味をもったのである．
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