寺田文行, 坂田 泩, 斎藤偵四郎：演習微分積分 |
作成日：2013-01-23 最終更新日： |
大学の教養程度の微分積分の演習書である。
指定のあった解析学入門で勉強してもなかなか理解できないので、 演習書として購入した本。 高校で勉強したことから素直につながっているので、 問題を少しではあるが解くことができた。 pp.96-97 の平面曲線の図が印象に残っている。 もう今となっては使わないので、廃棄した。 中身は、大学教養課程のやさしめの演習書である。 (2009-02-07)。
せっかくなので、よく引用される平面曲線を列挙する
http://www.asciimathml.com/dredging/media/excersises/graphtypes.html
を参考にした。| ` y = a / 2 (e^(x/a) + e^(-x/a)) ` | agraph setViewport(360,360,60); setGraphArea(-2.5,2.5,-1,4.0); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","懸垂線（カテナリー）"); axes(); setPen("2","green"); plot(0.5*(e^(x)+e^(-x))) endgraph |
| トリフォニウムとも呼ばれる。 `r = a sin 3 theta` で表される。 | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-5,5,-5,5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","三葉線"); axes(); setPen("2","green"); polarplot("4*sin(3*t)",0, 2*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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日本語では擺線(はいせん)という。 ` x=a(theta - sin theta) , y=a(1 - cos theta) ` で表される。 | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(660,360,60); setGraphArea(-5,5,-2.5,2.5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","サイクロイド"); axes(); setPen("2","blue"); plot(["0.5*(t-sin(t))", "0.5*(1-cos(t))"],0,10); plot(["0.5*(t-sin(t))", "0.5*(1-cos(t))"],-10,0); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
| 日本語では星芒形(せいぼうけい)という。 ` x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-1.5,1.5,-1.5,1.5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","アステロイド"); axes(); setPen("2","green"); plot(["cos(t)*cos(t)*cos(t)", "sin(t)*sin(t)*sin(t)"], 0, 2 * pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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日本語では連珠形という。 ` (x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0 ` ` r^2 = a^2 cos (2 theta) ` |
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-1.5,1.5,-1.5,1.5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","レムニスケート"); axes(); setPen("2","green"); polarplot("sqrt(cos(2*t))",0, pi); polarplot("-sqrt(cos(2*t))",0, pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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正葉線 とも呼ばれる。 `x^3 + y^3 - 3 a x y = 0``x = 3at/(1+t^3), y=3at^2/(1+t^3) (t != -1)` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-3,3,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","ホリアム"); axes(); setPen("2","green"); plot(["3*t/(1+t^3)","3*(t^2)/(1+t^3)"], -0.8, 20); plot(["3*t/(1+t^3)","3*(t^2)/(1+t^3)"], -20, -1.2); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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葉形線とも呼ばれる。 ` x = a(t^2 - 1)/(t^2 + 1), y = at(t^2 - 1)/(t^2 + 1) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-3,3,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","ストロフォイド"); axes(); setPen("2","green"); plot(["(t^2-1)/(1+t^2)","t*(t^2-1)/(1+t^2)"], -10, 10); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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シッソイドとも発音される。日本語は音訳に近く、疾走線と呼ばれる。 ` x^3 + (x - a)y^2 = 0` ` x = at^2/(1 + t^2), y = at^3/(1 + t^2) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-3,3,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","シッソイド"); axes(); setPen("2","green"); plot(["t^2/(1+t^2)","t^3/(1+t^2)"], -10, 10); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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` r = b - a cos theta` 日本語では蝸牛線と呼ばれる。下記は、a =1, b = 2 の場合である。 日本電信電話株式会社のロゴマークに似ている。 昔は電電公社と言われていたので、でんでんむしむしカタツムリ→蝸牛線、 となったのではないかという面白い説がある。 | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-1,5,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","蝸牛線"); axes(); setPen("2","green"); plot(["2(cos(t))^2+cos(t)","2cos(t)sin(t)+sin(t)"], 0, 2*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
| ` x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-1,5,-1,5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","放物線"); axes(); setPen("2","green"); plot(["t", "(1-sqrt(t))^2"], 0.25, 5); plot(["(1-sqrt(t))^2", "t"], 0.25, 5); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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日本語では螺獅線（らしせん）という名前がついている。 陰関数表示：` b^2 y^2 = (y - a)^2(x^2 + y^2) ` パラメータ表示：` x = a + b cos theta, y = a tan theta + b sin theta 極座標表示：` r = a / (cos theta) + b (0 < a < b) ` 図は `a = 1, b = 2` の場合。 青色の線は `1.7 < theta < 4.6 `の場合、 緑色の線は `-1 < theta < 1 ` の場合 | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-2,4,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","コンコイド"); axes(); setPen("2","green"); plot(["1+2*cos(t)", "tan(t)+2*sin(t)"], -1, 1); setPen("2","blue"); plot(["1+2*cos(t)", "tan(t)+2*sin(t)"], 1.7, 4.6); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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日本語では心臓形と呼ばれる。 ` r = a(1 - cos theta) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-1,3,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","カーディオイド"); axes(); setPen("2","green"); plot(["(1+cos(t))cos(t)", "(1+cos(t))sin(t)"],0,2*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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四葉線は次の式である。 `r = a cos 2 theta` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(480,480,60); setGraphArea(-3.5,3.5,-3.5,3.5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","四葉線"); axes(); setPen("2","green"); polarplot("4*sin(2*t)",0, 2*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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以下、らせん（スパイラル）３種類を示す。
まず、ハイパボリック・スパイラルは下記の式で表される。 ` r theta = a ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-3,3,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","ハイパボリック・スパイラル"); axes(); setPen("2","green"); polarplot("-pi/t",0, 5*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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次に、ロガリスミック・スパイラルは下記の式で表される。 ` r = e^(a theta) ` | agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(360,360,60); setGraphArea(-3,3,-3,3); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","ロガリスミック・スパイラル"); axes(); setPen("2","green"); polarplot("exp(t/pi)",-4*pi, 4*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
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最後に、アルキメデスのらせんは次の式で表される。 ` r = a theta ` 青色の曲線は `theta` が正の場合を、緑色の曲線は `theta` が負の場合を表す。 |
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(600,600,60); setGraphArea(-5,5,-5,5); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"Im","Re","アルキメデスのらせん"); axes(); setPen("2","blue"); plot(["t*cos(pi*t)", "t*sin(pi*t)"],0,5); setPen("2","green"); polarplot("-t/pi",0,5*pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph |
このページの数式は ASCIIMathML で記述している。
| 書 名 | 演習微分積分 |
| 著 者 | 寺田文行, 坂田 泩, 斎藤偵四郎 |
| 発行日 | 年 月 日 |
| 発行元 | サイエンス社 |
| 定 価 | （本体） |
| サイズ | A5 版 ページ |
| ISBN | |
| NDC |
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