Polinomo de Ĉebiŝef

Unua eldono : 2015-06-18
Lasta ŝanĝo :

Polinomo de Ĉebiŝef

Pafnutij Lvoviĉ Ĉebiŝov (Пафну́тий Льво́вич Чебышёв) estis rusa matematikisto. Polinomo (Polinomio) de Ĉebiŝov estas la plej profunda rezulto el la teorio aproksimaĵoj.

kosinuso kaj polinomo de Ĉebiŝef

(Unua) Polinomo de Ĉebiŝef estas unu el polinomoj :

`T_n(x) = {(cos(cos^(-1)x), if |x| <= 1),(cosh(cosh^(-1)x),if x >= 1), ((-1)^n cosh(cosh^(-1) (-x)),if x <= -1):}` .

aŭ en publika formo:

`T_n(x) = 1/2 ((x + i sqrt(1 - x^2) )^n + (x - i sqrt(1 - x^2))^n) = 1/2 ((x + sqrt(x^2 - 1) )^n + (x - sqrt(x^2 - 1))^n)`

Trigonometrika funkcio

Duobla angulo por kosinuso estas
`cos 2 theta = 2 cos^2 theta - 1` ,
kaj triobla angulo por kosinuso estas
`cos 3 theta = 4 cos^3 theta - 3 cos theta` .

Ĉe tiuj ekvacioj montrias, ke `cos 2 theta` esprimas kiel polinoma funkcio de grado 2 por `cos theta`, kaj `cos 3 theta` esprimas esprimas kiel polinoma funkcio de grado 3 por `cos theta`. Do, estas rekta, ke `cos n theta` esprimas esprimas kiel polinoma funkcio de grado n por `cos theta` ?

La respondo estas 'Jes'. La polinoma funkcio de grado `n` esprimas kiel `T_n(x) (n >= 0) `, kaj nominas "polinomo de Ĉebiŝef de grado `n`.

Rekura formulo

Grafo de Ĉebiŝef de polinomo

Oranĝa : `T_1(x)`, Ruĝa : `T_2(x)`、Viola : `T_3(x)`、verda : `T_4(x)`、blua : `T_5(x)` .

Ligoj

Lernejo de Marinkjo ＞ Ĉambro de matematiko ＞ polinomo de Ĉebiŝef