Polinomo de Ĉebiŝev |
Unua eldono : 2015-06-18 Lasta ŝanĝo : |
Pafnutij Lvoviĉ Ĉebiŝov (aŭ Ĉebiŝev) (Пафну́тий Льво́вич Чебышёв) estis rusa matematikisto. Polinomo (Polinomio) de Ĉebiŝov estas la plej profunda rezulto el la teorio aproksimaĵoj.
(Unua) Polinomo de Ĉebiŝev estas unu el polinomoj :
`T_n(x) = {(cos(cos^(-1)x), if |x| <= 1),(cosh(cosh^(-1)x),if x >= 1), ((-1)^n cosh(cosh^(-1) (-x)),if x <= -1):}` .
aŭ en publika formo:
`T_n(x) = 1/2 ((x + i sqrt( 1 - x^2) )^n + (x - i sqrt(1 - x^2))^n) = 1/2 ((x + sqrt(x^2 - 1) )^n + (x - sqrt(x^2 - 1))^n)`
Duobla angulo por kosinuso estas
`cos 2 theta = 2 cos^2 theta - 1` ,
kaj triobla angulo por kosinuso estas
`cos 3 theta = 4 cos^3 theta - 3 cos theta` .
La respondo estas 'Jes'. La polinoma funkcio de grado `n` esprimas kiel `T_n(x) (n >= 0) `, kaj nominas "polinomo de Ĉebiŝev de grado `n`.
Oni povas prezenti `cos n theta` kiel polinomo de grado `n` .
pruvo
Indukuto Bazo : n = 1, ni havas `cos 1 theta = cos theta`
Indukuto Bazo : n = 2, ni havas `cos 2 theta = 2 cos^2 theta - 1`
Indukto-paŝo: La aserto estu vera por `n = k - 1` kaj `n = k` (k = 2, 3, 4, ...) .
De adicia teoremo,
`cos (k + 1) theta = cos k theta cos theta - sin k theta sin theta`
kaj
`cos (k - 1) theta = cos k theta cos theta + sin k theta sin theta`
Ni adicu 2 suprajn egalaĵojn.
`cos (k + 1) theta - cos (k - 1) theta = 2 cos k theta cos theta`
Do
`cos (k + 1) theta = 2 cos k theta cos theta - cos (k - 1) theta`
Dekstra termo estas sumo de polinomo de `cos theta` , tiel maldekstra termo estas ankaŭ polinomo de `cos theta`.
oranĝa : `T_1(x)`, ruĝa : `T_2(x)`, purpura : `T_3(x)`, verda : `T_4(x)`, blua : `T_5(x)` .