駒木 悠二、有澤 誠：ナノピコ教室

概要

副題は「プログラミング問題集」。共立出版の月刊誌「bit」で毎月出題されていた。 その抜粋である。

感想

一つだけ、プログラムを JavaScript で作ろうとしたができなかった。残念だが数式だけで説明する。 出題は「カタラン数」。カタランの定数 (Catalan's constant) C は次のように級数の和で定義される。 この値を十進法で小数 10 桁以上正しく求めることである。

$C=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k}{{\left(2k+1\right)}^2}=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\dots$

答は C = 0.91596 55941 772192 … である。

電卓＋手計算で解答者が提案しているのは、既知の公式

$\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{48}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}}{{\left(2k\right)}^2}$

とカタランの定数の定義式を組み合わせて得られる式

$C=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{48}+\sum _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{k-1}\left(\frac{1}{{\left(2k-1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(2k\right)}^2}\right)$

を使うものである。上の式の第２項の級数は、オイラー変換を利用して解く、というものである。

以下は内容というより編集のことになる。 この問題と解答が第４部　組合せにあるが、出題者＝解答者である一松信が、これは，プログラミングよりも数値計算の問題ですから と述べている通り、第６部　数値計算にもっていくべきだったろう。

カタランの名前は組合せ数学においてカタラン数の名前で知られているが、カタラン数とカタランの定数との間には直接の関係はない。 カタランの定数は組合せ関数の漸近的評価に使われる。

カタラン数は通常 n 番目のカタラン数 C_nとして使われ、C_n = (2n)! / (n+1)!n! とあらわされる。

書誌情報

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