高木　貞治：初等整数論講義

概要

初等整数論の講義。平方剰余の二次法則まで。

感想

Tschebyschef の定理

Tschebyschef （チェビシェフ）の定理として、下記の定理が引用されている。

`x > 1` とすれば，`x` と `2x` の間に必ず素数がある．
これも粗雑であるが，証明は随分むずかしい．

正確には、この定理はベルトランが予想し、チェビシェフが証明したことで知られている。 その後、エルデーシュが１６歳のときに初等的証明を発見した。この証明は高校の数学で理解できる範囲である。 骨子は、n がある整数 a 以上で十分大きければ不等式の評価で上記証明が証明できること、 a 未満であれば実際に素数を拾っていって事実であることを確かめられる、という二段構えの証明である。 このエルデーシュの証明を一松信がわかりやすくした証明によれば、この a は 128 である。

面白いことに、整数に関する定理なのだが、実際に使うのは実数の連続性を使った解析的な微積分である。

用語

モ変形

同書独自の記法。本来は「モジュラル」変形というべきところ、このように訳している。 同書では p.174 で次のように定義されている。

一般に，実または虚の変数 `x, y` が
` x = (ay + b) / (cy + d) `
のような一次変形によって結びづけられ，`a, b, c, d ` は整数で，
`|(a, b), (c, d)| = +- 1`
であるときに，このような一次変形を「モジュラル」変形（modular transformation) という．

イデヤル

今では「イデアル」と表記するのがふつう。

MathJax

MathJax を使っている。

整数論の本

• 遠山　啓：初等整数論

書誌情報

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