予防保全(preventive maintenance, PM)とは、 故障が起きる前に対策を講じてその後の故障が起きないようにすることであり、 事後保全(breakdown maintenance, BM)とは、 故障が起きた後に対策をとって復帰させることである。
どちらも大事なのであるが、バランスをどの程度にすればよいのか定量的に評価する試みがある。 考えてみよう。
例：システムの故障（トラブル）が全体で n 件あるとする。 そのうちの１件でも顕在化するとシステムを修繕する必要がある。 その費用は１件あたり c1[円/件]であるとする。 一方、一斉にシステムを修繕するとすれば、 その費用が１件あたり c2[円/件]で済むものとする。 一定期間 t で一斉にシステムを修繕し、 その間にトラブルの起こった個所はその度に個別に修繕するものとする。このとき、 修繕費用が最小となるような一斉取替間隔 t を求めよう。ただし、 このとき、このトラブルの顕在化に関する確率分布 p(t) が与えられているものとする。
この問題は、一斉取替問題とよばれ、解を得るための理論は取替理論(replacement theory)と呼ばれる。 私の見方では予防保全と事後保全をどのように組み合わせれば、コストが最小となるかを考える問題である。
なお、システムのトラブルの総数がわかるわけがない、とおっしゃる方がいるかもしれない。 その突っ込みは鋭い。その場合は、 「インターネットのウェブページでリンク切れを直す問題」など、 対象を変えて考えていただきたい。
答を得るためには、再生関数 m(t) を求める必要がある。 再生関数(renewal function)とは、 着目している対象（この場合はトラブル）が期間tの間に平均m(t)回故障する （トラブルが顕在化する）とするとき、 このm(t)をいう。 m(t) は、寿命の分布から求めることができる。 再生方程式(renewal equation)をたてることによって得られる。 所与のp(t) に対して、累積分布 F(t)が求められ、さらに再生関数 m(t) が定まる。
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