九点円

九点円

九点円とは、三角形において特定の9個の点を通る円の名称である。発見した人の名前から、オイラー円とも、またフォイエルバッハ円とも呼ばれる。 この特定の９点とは次の通りである。

1. `/_\ ABC` の頂点 `A,B,C` からその対辺に下した垂線の足 `D, E, F`
2. 対辺 `BC, CA, AB` の中点 `L, M, N`
3. `/_\ ABC` の垂心を `H` としたときの線分 `AH, BH, CH` の中点 `P, Q, R`

九点円の中心は、三角形の垂心と外心の中点である。また、半径は外接円の半分である。

文献 1 の表 2.2 から、三角形の諸中心について抜粋した。

重心座標から直交座標への変換

まず、`/_\ABC` 内の点を `X` とし、`X` の位置ベクトルを `x` とする。 `x` は重心座標 `(lambda, mu, nu)` と 3 個の基本ベクトル `a, b, c` を使って次の通り表される。

`x = lambda a + mu b + nu c`

上記で `lambda + mu + nu = 1 ` が成立するとき、上記を変形すると次の式が得られる。

`(x - lambda a) / (1 - lambda) = (mu b + nu c) / (mu + nu) `

この意味は、`AX` の延長が辺 `BC` と交わる点 `T` が、`AX` を `1 : lambda` の比に外分し、`BC` を `nu:mu` の比に内分することを表す。

重心座標 `(lambda, mu, nu)` を直交座標に変換するには以上の結果を利用すればよい。 まず、`B` と `C` の位置から `T` の位置がわかる。 そして、`A` と `T` の位置から `X` の位置がわかる。

実際に上記の九点円の中心の座標を求めるには、まず `lambda, mu, nu` の和 `sigma` を求め、 それから `lambda' = lambda//sigma` などを求める。すると、 `lambda' + mu' + nu' = 1` となるので、 改めて `lambda = lambda'` などと置きなおして計算すればよい。 九点円の場合は、`sigma` は次のようになる。

`{:(sigma, = a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2 + b^2(c^2+a^2) - (c^2-a^2)^2 + c^2(a^2+b^2) - (a^2-b^2)^2 ), (,=4(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) - 2(a^4+b^4+c^4)):}`

なお、同様に垂心の座標を求めたいときには、垂心の重心座標の和を求める。これを `sigma'` とすれば、

`{:(sigma', = a^4-b^4-c^4 +2b^2c^2 + b^4-c^4-a^4+2c^2a^2 + c^4-a^4-b^4+2a^2b^2 ), (,=2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) - (a^4+b^4+c^4)):}`

九点円の作図

九点円を作図したい紙面上の三角形を定規で測定した。 すると、各辺の長さはミリ単位で次の通りであった。
`a = 57, b = 44, c = 52` 。
九点円をどのように作図すべきか。

まず、三角形を表示しなければならない。B(0, 0), C(57, 0) のように B を原点に、 BC を x 軸に取ったときに、 A の座標を計算する。それには cos B と sin B を求めればよい、cos B は余弦定理から求められる。 すなわち、 `b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cos B` であるので、 ` cos B = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ac) ` となり、cos B が計算できる。sin B は cos B から計算できる。 `A = (c cosB, c sinB)` 。

文献

• [1] 一松信 : いろいろな幾何Ⅰ（岩波講座　応用数学）
• [2] 小平邦彦 : 幾何のおもしろさ（岩波書店）

参考

• html5 の canvas 属性

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