九点円 |
作成日：2014-12-14 最終更新日： |
九点円とは、三角形において特定の9個の点を通る円の名称である。発見した人の名前から、オイラー円とも、またフォイエルバッハ円とも呼ばれる。 この特定の９点とは次の通りである。
九点円の中心は、三角形の垂心と外心の中点である。また、半径は外接円の半分である。
文献 1 の表 2.2 から、三角形の諸中心について抜粋した。
| 名称 | 直線 | 重心座標第1成分`lambda` | 重心座標第2成分`mu` | 重心座標第3成分`nu` |
|---|---|---|---|---|
| 内心 | 内角の二等分線 | `a` | `b` | `c` |
| 外心 | 辺の垂直二等分線 | `a^2b^2 + a^2c^2 - a^4` | `b^2c^2 + c^2a^2 - b^4` | `c^2a^2 + c^2b^2 - c^4` |
| 重心 | 中線 | 1 | 1 | 1 |
| 垂心 | 頂点から対辺への垂線 | `a^4-b^4-c^4 + 2b^2c^2` | `b^4-c^4-a^4 + 2c^2a^2` | `c^4-a^4-b^4 + 2a^2b^2` |
| 九点円の中心 | ― | `a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2` | `b^2(c^2+a^2) - (c^2-a^2)^2` | `c^2(a^2+b^2) - (a^2-b^2)^2` |
まず、九点円の中心 `Q` の位置ベクトルを `q` とする。`q` は重心座標 `(lambda, mu, nu)` と 3 個の基本ベクトル `a, b, c` を使って次の通り表される。
`x = lambda a + mu b + nu c`
上記で `lambda + mu + nu = 1 ` が成立するとき、上記を変形すると次の式が得られる。
`(x - lambda a) / (1 - lambda) = (mu b + nu c) / (mu + nu) `
この意味は、AX の延長が辺 BC と交わる点 T が、AX を `1 : lambda` の比に外分し、BC を `nu:mu` の比に内分することを表す。
ここで、上記の九点円の中心の `lambda, mu, nu` の和 `sigma` を求める。
| `lambda + mu + nu = sigma ` | = `a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2` + `b^2(c^2+a^2) - (c^2-a^2)^2` + `c^2(a^2+b^2) - (a^2-b^2)^2` |
| = `2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - 2(a^4 + b^4 + c^4) + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2` | |
| = `4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - 2(a^4 + b^4 + c^4)` |
重心座標 `(lambda, mu, nu)` を直交座標に変換するには次のようにする。
さて、九点円が作図された、ある紙面上の三角形を定規で測定した。すると、各辺の長さはミリ単位で次の通りであった。 `a = 57, b = 44, c = 52` 。九点円をどのように作図すべきか。
まず、三角形を表示しなければならない。B(0, 0), C(57, 0) のように、B を原点に、BC を x 軸に取ったときに、 A の座標を計算する。それには cos B と sin B を求めればよい、cos B は余弦定理から求められる。 すなわち、 `b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cos B` であるので、 ` cos B = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ac) ` となり、cos B が計算できる。sin B は cos B から計算できる。 `A = (c cosB, c sinB)` 。
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