極私的関数解析：ノルム線形空間 |
作成日：2013-01-23 最終更新日： |
ノルム線形空間(norma vektorspaco, normed vector space)とは、 ノルムの定義されたベクトル空間のことである。線形ノルム空間とも、また単にノルム空間ともいう。 ベクトル空間を `X` で、その上のノルムを `||*||` で表せば、ノルム線形空間はその対 `(X, ||*||)` であらわされる。
ノルム線形空間において、ノルムから距離が自然に定義できる。実際、`||*||` を ` K= RR, CC ` 上のベクトル空間 `X` のノルムとすると、 `d(x, y) := ||x - y|| (x, y in X) ` で定めた `d` は `X` 上の距離になる。
したがって、ノルム線形空間は、常に `d(x, y) := ||x - y||` という距離をもつ距離空間と考えることができる。
`n` 次元ベクトル空間 `RR^n` の元を `x` とし、`x = (x_1, cdots, x_n)` に対して `x` のノルムを `|| x || = sqrt(x_1^2 + cdots + x_n^2)` で定めると、 `(X, ||*||)` はノルム線形空間である。
ベクトル空間 `ℓ^p (1 <= p < oo)` は、`sum_(n=1)^oo |a_n|^p < oo` を満たす数列の全体である。この数列を `(a_n)_n` と表し、ノルムは `||(a_n)||_n := (sum_(n=1)^oo |a_n|^p)^(1/p) ` と定める。 線形演算は、共通に成分ごとの和やスカラー倍で定める。
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