極私的関数解析：測度空間

測度空間の定義

測度空間 (mezura spaco, measure space)とは、測度の定められた可測空間のことをいう。 ここで可測空間`(X, beta)` とは、集合 `X` とこれに対する `sigma` 集合体 `beta` の対をいう。 可測空間に、次の条件を満たす関数 `m : beta -> R_+=[0, oo]` が存在するとき、`m` を測度という。

1. `m(O/) = 0`
2. 可測集合列 `A_1, A_2, cdots, in beta` が互いに共通部分を持たない、すなわちこれらが互いに素であるならば下記が成り立つ。
   `m uuu_(k=1)^oo A_k = sum_(k=1)^oo m(A_k)`

ただし、集合`X` に対する部分集合族 `beta` が `sigma` 集合体とは、`beta` が次の３条件を満たすことをいう。

1. 少なくとも部分集合を含む
2. `A in beta => A^c in beta`
3. `A_k in beta (k = 1, 2, cdots) => uuu_(k=1)^oo A_k in beta`

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

参考

• 吉田　洋一：ルベグ積分入門（ちくま学芸文庫）

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