極私的関数解析：L^p空間

L^p空間の定義

L^p空間 (L^p spaco, L^p space)とは、 有限次元ベクトル空間に対する p-ノルムの自然な一般化を用いることで定義される関数空間である。 アンリ・ルベーグの名をとってルベーグ空間 (Lebesgue space) とも呼ばれる。 L は Lebesgue から来ていると思われる。少なくともそう覚えればよい。

関数空間 `L^2(Omega)`

`Omega` を `RR^N` の領域とする。`Omega` で定義された関数 `u = u(x)` のうちで、条件

`int_Omega |u(x)|^2 dx < + oo`

を満たすものの全体を `L^2(Omega)` で表す。これも線形空間である。

`L^2(Omega)` の例 1

`alpha > 0` ならば、`f(x) = e^(-alpha x)` は `L^2(0, oo)` に属する。

`L^2(Omega)` の例 2

`g(x) = 1 / (1 + |x|^alpha)` が `L^2(0, oo)` に属するための条件は、`alpha > 1/2` であることである。

数式記述

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