極私的関数解析：ヒルベルト空間

ヒルベルト空間の定義

内積空間 `X` がヒルベルト空間 (hilberta spaco, Hilbert space)であるとは、 `X` がその内積から導かれるノルムに関して完備であることをいう。

ダフィット・ヒルベルトはドイツの数学者。ヒルベルトは 1900 年、国際数学者会議で、 当時未解決の問題や、方向性の定まらない領域について講演した。これはのちに「ヒルベルトの 23 の問題」として有名になった。 彼の墓碑には Wir müssen wissen, und wir werden wissen. （我々は知らねばならない。我々は知るであろう）と書かれている。

いろいろなヒルベルト空間

• `l^2` はヒルベルト空間である。
• `Omega` を `RR^m` の任意の領域とする。`L^2(Omega)` はヒルベルト空間である。
• `X` を `L^2(-1,1)` に属する関数で偶関数であるものの全体とする。 `X` は `L^2` ノルムのもとでヒルベルト空間である。

数式記述

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