極私的関数解析：ハーディ空間

ハーディ空間の定義

ハーディ空間 (Hardy space)であるとは、開単位円板上でのある種の性質を満たす関数から構成される空間のことをいう。 以下はその例である。

開単位円板上の正則関数の空間に対し、ハーディ空間 `H^2` とは、半径 `r` の円周上の平均二乗値が `r -> 1` のときに下から有界となる関数から構成される空間のことをいう。

より一般に、実数 `p` (` 0 < p < oo `) に対するハーディ空間 `H^p` は次で定義された値
`||f||_(H^p) = "sup"_(0 < p <1) (1/(2 pi) int_0^(2pi) |f(re^(i theta) )|^p d theta )^(1/p)`
が有限値であること、すなわち、
`||f||_(H^p) < + oo `
を満たす開単位円板上の正則函数 `f` のクラスのことをいう。`||f||_(H^p)` は、` p >= 1` のときはノルムであるが、 `0 < p < 1` のときはノルムとはならない。

数式記述

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