バナッハ空間 (banaĥa spaco, Banach space)とは、 完備なノルム空間 (kompleta kaj normhava spaco, komplete and norma space)のことをいう。
バナッハはポーランドの数学者。Wikipedia ではステファン・バナフ (Stefan Banach）と表記されている。 バナハ、バナッハでもよいようだ。数学基礎論でも業績を残し、バナッハ・タルスキーのパラドックス（逆説）は有名である。
ポーランドのルヴフという地で数学の研究をしていたが、ドイツがルヴフを支配したあと、 バナッハは第二次世界大戦でナチスにとらえられた。ポーランドの知識人であったからと思われる。 その後ルヴフはソ連領として解放されたが、バナッハは 1945 年に肺がんで亡くなった。
以降、有界閉区間 `[a, b]` 上の実数値連続関数の全体、または複素数値連続関数の全体を `C[a, b]` で表す。
`x in [a, b]` に対して、和とスカラー倍をそれぞれ次の式で定義すれば
(1) `(f+g)(x) = f(x) + g(x)` , (2) `(alpha f)(x) = alpha f(x)`
`C[a, b]` はこの和とスカラー倍の演算に関して線形空間になる。
例 1. 有限次元のノルム空間はバナッハ空間である。
例 2. ノルム空間 `l^p` はバナッハ空間である。
例 3. ノルム空間 `L^p` はバナッハ空間である。
例 4. `C[a, b]` は最大値ノルム `norm(f)_oo = max_(a le x le b) abs(f(x))` に関してバナッハ空間である。
バナッハ空間ではない例として、一つの例はノルム空間ではあるが完備ではない例がある。 もう一つの例は完備ではあるがノルムがない空間がある。ここでは、完備ではない例を挙げる。 なお、`C[a, b]` の意味は上記と同様である。
例 1. `C[a, b]` は下記の２乗ノルム
`norm(f)_2 = sqrt(int_a^b abs(f(x))^2 dx)`
に関して完備ではない。すなわち、バナッハ空間ではない。
例 2. 閉区間 `[a, b]` 上のすべての多項式からなる集合 `P[a, b]` は無限次元の線形空間であり、 最大値ノルムに関してノルム空間となるが、完備ではない。すなわち、バナッハ空間ではない。
バナッハ空間を考える理由は、一般のノルム空間より「よい」性質を持っているからである。たとえば、 バナッハ空間を対象として以下の定理が適用できる：
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