極私的関数解析：バナッハ空間 |
作成日：2014-01-23 最終更新日： |
バナッハ空間 (banaĥa spaco, Banach space)とは、完備なノルム空間 (kompleta kaj normhava spaco, komplete and norma space)のことをいう。
バナッハはポーランドの数学者。Wikipedia ではステファン・バナフ (Stefan Banach）と表記されている。 バナハ、バナッハでもよいようだ。数学基礎論でも業績を残し、バナッハ・タルスキーのパラドックス（逆説）は有名である。
ポーランドのルヴフという地で数学の研究をしていたが、ドイツがルヴフを支配したあと、 バナッハは第二次世界大戦でナチスにとらえられた。ポーランドの知識人であったからと思われる。 その後ルヴフはソ連領として解放されたが、バナッハは 1945 年に肺がんで亡くなった。
では、完備な、ということばはどういう意味か。ふつうの日本語では、「冷暖房完備」とか「バス・トイレ完備」というように使い、 形容動詞としては使わない。以下、完備の定義をする。
ノルム空間 `X` が完備であるとは、`X` の任意のコーシー列が収束することをいう。
今度はコーシー列ということばが出てきた。オーギュスタン＝ルイ・コーシー(Koŝio, Augustin Louis Cauchy)は数学者の名前である。（ノルム空間のノルムは数学者の名前ではなく、 長さを一般化した概念である）。コーシー列（koŝia vico, Cauthy sequence) とはあとで説明する。
実数 `p > 1` に対して
`1/p + 1/q = 1`
となる実数 `q > 1` を考える。このとき、`f in L^p[0,1], g in L^q[0, 1]` ならば
`int_0^1|f(r)g(r)|dr <= root(p)(int_0^1|f(r)|^pdr) root(q)(int_0^1|g(r)|^qdr)`
が成り立つ。
上記の不等式を、ヘルダーの不等式 (Hölder's inequality) と呼ぶ。 オットー・ヘルダー (Otto Ludwig Hölder) にちなむ。
`a >0, b > 0 , 1 < p < +oo , 1 < q < +oo ` とするとき、次の不等式が成り立つ。
`ab < 1/p a^p + 1/q b^q`
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