では桜蔭から解いていこう。
【２００４年・桜蔭中[３番]】
あるお菓子屋さんでは１個１２０円のお菓子を売っています。６個入りは箱代が８０円、
９個入りは箱代が１００円です。このとき次の問いに答えなさい。
（１）６個入りと９個入りの菓子箱はそれぞれ何円ですか。
（２）６個入りと９個入りの菓子箱とばら売りを何個かずつ買ったところ全部で８７８０円になりました。
６個入り、９個入りの菓子箱とばら売りを、それぞれ何個ずつ買いましたか。
考えられるすべての場合を答えなさい。
ただし、ばら売りは２０個以下とします。
（１）は簡単だ。
１２０×６+８０＝８００円（６個入り）
１２０×９+１００＝１１８０円（９個入り）
（２）からはいわゆる「いもづる算」という奴だ。
「つるかめ算」の応用発展問題と考えられる。
６個入りの菓子箱をｘ個、９個入りの菓子箱をｙ個、ばら売りをｚ個買ったとする。
すると次の式が出来る。
８００×ｘ+１１８０×ｙ+１２０×ｚ＝８７８０
この式に当てはまるｘｙｚの組を見つけていけばよい。
まず左右とも２０で割れるので
４０×ｘ+５９×ｙ+６×ｚ＝４３９
となる。（小学生でも、理解できるでしょ）
一番高い５９円から考えていく。
４３９÷５９＝７・・・２６
９個入りの菓子箱が７個買えて、２６円残るということだ。
だが、２６円余っても、それでは４０円と６円のものをぴったりとは買えない。
この箱を１個減らすと、余りが５９円増えるので、２６+５９＝８５円となる。
８５円からもぴったり４０と６のセットは作れない。
そもそも４０も６も偶数だから、余りも偶数でないとぴったりとはいかない。（分かるかな？）
次の余りは８５+５９＝１４４
これは何か作れるかもしれない。
１４４÷４０＝３・・・２４
わーい、２４は６の倍数だ〜。
ということで、
ｘ＝３ ｙ＝５ ｚ＝４（←２４÷６）がまず答えとして出てきた。
４０と６の最小公倍数は１２０だから、ｘを３減らせば、ｚが２０増えて、またぴったりの組が出来るけれど
ばら売りは２０個以下（即ちｚは２０以下）という条件があるから、これは答えには合わない。
そもそも、ｘも、もう３減らすことはできない。
さて、次の答えをさがそう。
さっきもちょっと言ったとおり、余りは偶数でないと合わないから
次の余りは１４４に５９×２＝１１８を足して、２６２
さっきと同じように考える。
２６２÷４０＝６・・・２２
２２は６の倍数でないからダメ。
で、２２に４０の倍数を足して、どこかで６の倍数が出来ないかを考える。
２２+４０＝６２ ダメ
２２+８０＝１０２ いけた〜
（ついでに言っておくと、この１０２は、６２+４０で求めても良い。）
このように、５９円の個数、即ちｙにあたる数を一つ（あるいは二つ）ずつ減らしては、
余りで４０と６とのセットが出来ないかを考えていく。
さて、次の余りは２６２に１１８を足して、３８０
さっきと同じような計算をしていく。
作業内容は同じなので、以下省略。
いずれにしろ、地道な計算と検証を繰り返していくわけだ。
こうした問題から、この学校、すなわち桜蔭がどんな子を求めているか
分かるような気がしませんか。
はっきりと、学校側のメッセージが聞えてくるような気がします。
一方の女子学院はどう解かせるのだろう。
【２００４年・女子学院中[５番]】
（１）２２２の約数を全部書くと、（ ）です。
（２）花子さんは、１個３７円の商品Aと１個８０円の商品Bと１個６２円の商品Cを何個かずつ買いました。
値段の合計は２２２００円で、商品Bと商品Cの個数の比は３：４でした。
花子さんは、商品Aを（ ）個、商品Bを（ ）個、商品Cを（ ）個買いました。
こちらも（１）は簡単だ。
順に素数で割っていく。
２２２÷２＝１１１
１１１÷３＝３７
３７が素数なのでこれ以上は割れない。
よって、約数は、１、２、３、６（＝２×３）、３７、７４（＝２×３７）、１１１（＝３×３７）、２２２（＝２×３×３７）
では、これが（２）とどう結びついていくのか。
まず金額が２２２００円。どう考えても関連がありそう。
次に、商品Aの値段が３７円。これも２２２の約数に入っている金額。
もう一度、整理しよう。
２２２の約数→１、２、３、６、３７、７４、１１１、２２２
２２２００円＝３７円×（ ）+８０円×（３の倍数個）+６２円×（４の倍数個）
２つの条件を見ていれば、ポイントは３７だと気付く。
でも、下の式には足し算が入っているから、単純な積の形にはできない。
さあ困った。
いや、困ることはない、単純な積の形を作れば良いのだ。
え、どうやって？
こうやって！
２２２００＝３７×（ ）+８０×（３７×３の倍数）+６２×（３７×４の倍数）
としてやれば良い。
そう、３や４の倍数なら何でも良いのだから、そこに３７をかけてしまえば良い。
商品Aの個数をA個、商品Bの個数をB個、商品Cの個数をC個とすれば
B：C＝３：４という条件があるので、これを（３７×３）：（３７×４）と読み替えたのだ。
Ｂ＝３７×３ｋ Ｃ＝３７×４ｋとする。（ｋを付けたのは、３の倍数とか４の倍数ということを見やすくするため）
さっきの式を次のように変形してみよう。
２２２００＝３７×A+８０×３７×３ｋ+６２×３７×４ｋ
ここで分配法則を使えば
２２２００＝３７×（Ａ+８０×３ｋ+６２×４ｋ）
となる。
２２２００÷３７＝６６０なので
Ａ+８０×３ｋ+６２×４ｋ＝６６０
となる。
ｋ＝１としてみよう。
すると
A+２４０+２４８＝６６０
となる。
このとき、A＝１１２となり、条件に合いそうだ。
B＝３７×３＝１１１
C＝３７×４＝１４８
特に問題はなさそうだ。
一応、他の場合はないかチェックしよう。
ｋ＝２で計算してみると
A+４８０+４９６＝６６０
となるので、これはおかしいと分かる。
だから、答えはさっきの場合だけと分かる。
そもそも、解答欄からして、答えは１セットしか求められていないから
３７の扱い方が閃けば（ひらめけば）、もうそれで解けたも同然なのだ。
さあ、どうでしょう。
ちょっとしたことに気付けば、こんなに簡単に要領よく正解できてしまうということがお分かりいただけましたか。
ここから、女子学院がどんな子を求めているかが伝わってきますね。
一見似たような２つの問題だったが、
解き方はまるで違っていた。
そう、入試問題は、どんな子を欲しているか
それを明確に語っているのだ。
（２００５年９月２９日、久保田塾塾長・久保田實記）
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