久保田塾
（？考える力を育てます！）
私立内部進学にも対応します。
（２００８年に関連付けた本年の入試問題の一部を紹介します。）
（２００８年２月１日更新）
函館ラサール中・前期入学試験
〔問い〕下のように、整数が規則正しく並んでいます。 1 4 3 2 9 8 7 6 5 16 15 14 13 12 11 10 25 24 ・・・・・
□にあてはまる数を答えなさい。
（１）2008は前から□番目にあります。
（２）前から順に数をたしていくとき（1+4+3+2+・・・)、たした結果がはじめて2008をこえるのは、前から□番目までたしたときです。
解き方
（１）解説まずどうグループ分けするかがポイント。
大体わかりますね。次のようにグループ分けします。第１グループ １
第２グループ ４ ３ ２
第３グループ ９ ８ ７ ６ ５
第４グループ １６ １５ １４ １３ １２ １１ １０
第５グループ ２５ ２４ ２３ ２２ ２１ ２０ １９ １８ １７これで何かが見えてきましたね。
そう、各グループの先頭の数字は平方数です。
だから、２００８に近い平方数を探す。また、右から見ていくと、重複なく１から順に並んでいることに気が付きます。
これは（２）で役立ちます。では、まず２００８に近い平方数を探しに行きましょう。
５０×５０＝２５００
すぐ思いつくのはこの辺りでしょうか。
ここから段々小さくしていきましょう。４９×４９＝２４０１
４８×４８＝２３０４
この感じからすると、４５×４５辺りがちょうどみたいですね。
４５×４５＝２０２５
ここから
第４５グループが次にようになっているとつかめます。
２０２５ ２０２４ ２０２３ ２０２２ ・・・・・その前の第４４グループはどうなっているでしょう。
４４×４４＝１９３６ですから
第４４グループは次のようになっています。
１９３６ １９３５ １９３４ ・・・・・と言うことは、２００８は第４５グループの途中にあるということです。
なぜなら、第４５グループの最後の数は１９３７だからです。では、２０２５から２００８までは何個の数字が並んでいるのか。
２０２５−２００７＝１８ですから、１８個並んでいます。
（引くのは２００８ではなく、２００７ですよ！）また、第４４グループまでで、何個の数字が並んでいるのか。
各グループの個数は、ちょうど奇数の順番になっています。
そして、４４番目の奇数は４４×２−１＝８７ なので
１＋３＋５＋７＋・・・・・＋８７＝４４×４４と計算して
１９３６個あると分かります。
（Ｎ番目までの奇数の和＝Ｎ×Ｎを忘れていませんね？）実は、各グループの先頭の数字は、そのグループまでの最後の数字で、
しかも、各グループの数字は、重複なく、１から順番にならんでいるので
グループの先頭の数字は、そのグループの最後の数字までで何個並んでいるのかを表しているのです。
だから、４４グループまでの個数は、４４グループの先頭の数字、１９３６と同じなのです。つまり、答えは１９３６＋１８＝１９５４番目となります。
（２）解説
これは、１から順に数字が並んでいることから考え
いくつまで足せば合計が２００８を超える数になるかをまず考えます。その数をＡとしましょう。すると次の式ができます。
（１＋Ａ）×Ａ÷２＝２００８
（１＋Ａ）×Ａ＝４０１６
つまり、（１＋Ａ）×Ａの結果が、４０１６以上になった時のＡが求めるＡです。
では、そのＡを探しましょう。
１違いの２数の積ですから、とりあえず近めの平方数を探ってみましょう。
２０×２０＝４００
あれ、全然関係なかったですね（笑い）。
でも、試験場では、とにかく思いついたことを色々やってみるのが大事です。
そして、では、次に何をしてみたらよいかと考えていくのです。
６０×６０＝３６００
７０×７０＝４９００
何か一気に近づいた気がします。
６２×６１＝３７８２
６３×６２＝３９０６
６４×６３＝４０３２
さあ、分かりますか？
上の３つの式から、Ａはズバリ６３です。では、次に、６３が第何グループに入っているかを考えましょう。
これは各グループの先頭が平方数であることを使えば簡単ですね。
４９＜６３＜６４ですから
第８グループに入っていることが分かります。こういうときも、頭だけで考えないで
実際に第８グループを書いてみましょう。
第８グループ ６４ ６３ ６２ ・・・・・あらまあ第８グループの２番目にもう登場です。助かります。
ところが、ここで油断大敵！
数字は大きい方から並んでいますから
この６３までを足しても、合計は２００８になりません。
実際に確かめてみましょう。
第７グループまでの数字の合計は
（１＋４９）×４９÷２＝１２２５です。
これに６４と６３を足しても
１２２５＋６４＋６３＝１３５２にしかならないのです。そう、第８グループまでの合計から、後ろの数字を引いていくという作業が必要になります。
第８グループまでの数字の合計。
（１＋６４）×６４÷２＝２０８０
ここから第８グループの最後の数字から順に引いていきます。
第８グループの最後はいくつでしょう？第７グループの最初が７の平方数の４９ですから、その次の５０です。
つまり、もう一度、第８グループを書き出すと
第８グループ ６４ ６３ ６２ ・・・・・ ５３ ５２ ５１ ５０
と、なっているのです。
まず５０を引いて２０３０です。
次にここから５１を引いて１９７９あ、２００８より小さくなりました。
と言うことは、５１までを足せば２００８を超えるということです。
では、５１は何番目の数でしょう。
第８グループの最後の数字の５０が６４番目ですから
その一つ前で、６３番目と分かります。
答えは６３です。試験場で、どうアプローチしていけば良いかも示したかったので
長ったらしい解説となってしまいました。
でも、分かりにくい所があったら、何度も読み返して、しっかり自分のものとしてください。
昨年も２００７に関連づけた「数の性質」の問題があちこちで出題されていましたね。
今年も多そうです。
次はもう少しありふれた「２００８年問題」です。
解き方
これはよくある問題ですから、詳しい解説をしなくてもできる人も多いでしょう。余りも同じでないし、割る数と余りとの差も同じではないので
最初の数は書き出しでみつけます。（３で割ると２余る数）
２ ５ ８ １１ １４ １７ ２０ ・・・・・
（７で割ると３余る数）
３ １０ １７ ２４ ・・・・・つまり、最初の数は１７です。
これがみつかれば、後は３と７の最小公倍数の２１ずつ足していけば良い。
つまり、３で割ると２余り、７で割ると３余る数は次のような式で表せる数です。
１７＋２１の倍数
この先は省略します。
答え ２０１２
「数の性質」は大事な単元です。今年も各校で様々な出題がされるでしょう。
次は、もう少し骨の折れる「２００８関連問題」です。
駒場東邦中
〔問い〕２００８にある整数をかけたとき、次の条件を満たすならば、そのかけた整数を「よい数」ということにします。 （条件）かけたときの積に、２と８が１回ずつ現れ、２が常に８より左にあり、
かつ２と８の間にある０の個数がちょうど２個である。
例えば、２００８×６２６＝１２５７００８は条件を満たすので、６２６は「よい数」です。
一方、２００８×３９８９＝８００９９１２は２と８の位置が逆なので、３９８９は「よい数」ではありません。
（１）１２６は「よい数」かどうか、計算して答えなさい。
（２）積が２から始まる７けたの数になるとき、３けたの「よい数」を求めなさい。
（３）積が５けたになるような「よい数」は、１０以外にないことを説明しなさい。
解き方
（１）解説これは実際に計算してしまえば良いですね。
２００８×１２６＝２５３００８ですから
１２６は「よい数」です。
（２）解説
今度はすこし手強いです。
でも、よく考えてみましょう。２００８×３けたの数＝２から始まる７けたの数。
２００８×８９９＝１８０５１３２
ですから、この「よい数」は９００代の数です。では試しに３けたで最大の数（＝９９９）をかけてみましょう。
２００８×９９９＝２００５９９２
これは条件に合いません。
後は、この２００５９９２から順に２００８を引いていけば良いですね。
だって、２００５９９２−２００８の答えは
２００８×９９８の答えですから。
（かける数が１小さくなったのだから、答えはかけられる数の分だけ小さくなる）
２００５９９２−２００８＝２００３９８４
おう、もう条件に合ってしまいました。
念のため
２００３９８４−２００８＝２００１９７６
条件に合いません。
２００１９７６−２００８＝１９９９９６８
ここからは、２から始まるという条件からはずれてしまいましたから
答えは９９８だけと分かります。中学入試ですから、この程度の直感的な解答で充分だと思います。
（３）解説
これはもう少し条件を詰めないと苦しいかも。
そもそも、「説明しなさい」となっていますし。
この、ある「よい数」をＭとしましょう。
２００８×Ｍ＝５けたの、条件に合う数。
Ｍが３けただと、積は絶対に６けた以上の数になってしまいます。
ですから、Ｍは１けたか２けたの数です。２００８×Ｍ＝２０００×Ｍ＋８×Ｍと見てみましょう。
するとＭが５以上でないと５けたにならないのがわかります。
ところがＭが５から９では２０００の倍数で万の位以上に２が出るものがありません。
Ｍ＝１０で初めて万の位に２が出て、２００００となります。
それより前では８×Ｍは２けたの数ですから千の位の２との間に０が２つ並ぶことはありません。
また、８の倍数で間に０が入るのは
１０４（ Ｍ＝１３）
２０８（Ｍ＝２６）
だけだが、そもそも２０８は条件に外れているし
Ｍ＝１３の時
２０００×１３＝２６０００なので
Ｍ＝１３でも条件には合いません。
ではＭ＝１０より上で、２０００の倍数で、万以上の位に２が１回だけ出るのはあるのか。
次は１２００００だが、これは明らかに６けたなので条件に合わない。以上から、条件に合うのは、１０をかけた時だけと言える。
中学入試ですから、この程度の解答で充分だと思います。
駒場東邦中学は、今年も数学に近い発想を要求する問題を出してきましたね。
でも、この程度なら、小学生でも対応可能と言えるのではないでしょうか。
２００８に関連づけた問題の中では一番面白かったように思います。
「２００８年問題」、西武文理中では、特別選抜入試にも出ていました。
西武文理中・特選入試
〔問い〕図のように１から順に数を並べていきます。このとき次の問いに答えなさい。|
1 |
2
|
9
|
10
|
25
|
26
|
|
4
|
3
|
8
|
11
|
24
|
・・・
|
|
5
|
6
|
7
|
12
|
23
|
・・・
|
|
16
|
15
|
14
|
13
|
22
|
・・・
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
・・・
|
（１）一番左の列の上から９番目の数はいくつですか。
（２）２００８は上から何番目で左から何番目にありますか。
解き方
（１）解説一つ前の函館ラサールの問題に似ています。
次のグループ分けは、この問題の方がみつけやすいですね。
以下、函館ラサールに似ているので、説明は簡素化してあります。第１グループ １
第２グループ ４ ３ ２
第３グループ ５ ６ ７ ８ ９
第４グループ １６ １５ １４ １３ １２ １１ １０
第５グループ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５偶数グループか、奇数グループかで分けます。
偶数グループは一番上の列から始まり、各グループの真ん中の数まで下に進んだ後
左に向かって進みます。
奇数グループは左の列から始まり、各グループの真ん中の数まで右に進んだ後
上に向かって進みます。
一番左の列の９番目ということは
奇数グループですから前のグループの最後の数（平方数）の次の数です 。
だから、８×８＋１＝６５が正解。
（２）解説
４４×４４＝１９３６
４５×４５＝２０２５
１９３６＜２００８＜２０２５
以上の関係から、２００８は第４５グループの途中にあると分かります。
第４５グループは４５×２−１＝８９より、８９個の数から出来ています。
また奇数グループですから、左から始まり途中から上に向かう並び方です。２０２５−２００７＝１８
１８は４５より小さい数なので、２００８は上から１８番目にあります。
すると、左からは４５番目と分かります。
どうしても分からない人は、第４５グループの並び方を実際に書いてみてください。答えは上から１８番目で左から４５番目。
以上、今年の入試問題を解説しました。
これからの入試対策に少しでも役立てば幸いです。
また、芝中学でも２００８に関連づけた問題が出ていましたが
あまりにも類型的な問題だったので省略しました。
◎当塾の指導方針は、とにかく分かりやすくと言うことです。それが個別指導の価値です。
◎また、様々な別解のストックもあります。お子さんに合う解法が示せると思います。
◎集団塾のフォローの場合は、なるべく集団塾で習ってきたやり方を生かすようにしますが、
場合によっては、こんな方法もあるよという形で、別解を指導することもあります。
（ただし、あくまでお子さんの力を伸ばすのが目的ですから、混乱させるようなことがないよう万全の配慮をします。）
